【題目】已知拋物線y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0)和點(diǎn)B(3,0),頂點(diǎn)為D,點(diǎn)C是直線l:y=x+5與x軸的交點(diǎn).
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)點(diǎn)E是直線l在第三象限上的點(diǎn),連接EA、EB,當(dāng)△ECA∽△BCE時(shí),求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接AD、BD,在直線DE上是否存在點(diǎn)P,使得∠APD=∠ADB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-9,-4);(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,-4)或(2,-4),見解析.
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)A,B的坐標(biāo)利用相似三角形的性質(zhì)可求出EC的值,過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,則△CEF為等腰三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出CE,EF的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)利用配方法可求出點(diǎn)D的坐標(biāo),進(jìn)而可得出BD的長度,結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y=-4,過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AN⊥直線DE于點(diǎn)N,利用面積法可求出AM的值,由∠APD=∠ADB結(jié)合正切的定義可求出PN的值,再結(jié)合點(diǎn)N的坐標(biāo)可得出點(diǎn)P的坐標(biāo),此題得解.
(1)將A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3,
得:,解得:,
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x-3;
(2)當(dāng)y=0時(shí),x+5=0,
解得:x=-5,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-5,0).
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
∴AC=4,BC=8.
∵△ECA∽△BCE,
∴∠ECA=∠BCE,=,即=,
∴EC=4或EC=-4(舍去),
過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,如圖1所示,
∵直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=x+5,
∴△CEF為等腰三角形,
∴CE=EF=4,
∴OF=5+4=9,EF=4,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-9,-4);
(3)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4),
∴AD=BD==2,
由(2)可知:點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-9,-4),
∴直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y=-4,
過點(diǎn)A作AM⊥BD于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AN⊥直線DE于點(diǎn)N,如圖2所示,
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),
∴S△ABD=×[3-(-1)]×4=8,
∴AM===,
∴DM==,
∵∠APD=∠ADB,
∴tan∠APD=tan∠ADB,即=,
∴=,
∴PN=3,
又∵點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1,-4),
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,-4)或(2,-4).
綜上所述:在直線DE上存在點(diǎn)P(-4,-4)或(2,-4),使得∠APD=∠ADB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放,其中,,點(diǎn)E落在AB上,DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.
求證:;
若將圖中的繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角a,且,其他條件不變,如圖請(qǐng)你直接寫出與DE的大小關(guān)系:______填“”或“”或“”
若將圖中的繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角,且,其他條件不變,如圖請(qǐng)你寫出此時(shí)AF、EF與DE之間的關(guān)系,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明袋子中有1個(gè)紅球和n個(gè)白球,這些球除顏色外無其他差別.
(1)從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,記錄其顏色,然后放回.大量重復(fù)該實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.25,求n的值.
(2)在(1)的條件下,從袋中隨機(jī)摸出兩個(gè)球,求兩個(gè)球顏色不同的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演,演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處,其身體(看成一點(diǎn))的路線是拋物線的一部分,如圖
(1)求演員彈跳離地面的最大高度;
(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4米,問這次表演是否成功?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),AE是⊙O的直徑,點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn),且AC平分∠PAE,過C作CD⊥PA,垂足為D.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若DC+DA=6,⊙O的直徑為10,求AB的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2-x-(m+1)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若m為符合條件的最小整數(shù),求此方程的根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)D,E分別在AB,BC上,∠EAD=∠EDA,點(diǎn)F為DE的延長線與AC的延長線的交點(diǎn).
(1)求證:DE=EF;
(2)判斷BD和CF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若AB=3,AE=,求BD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知長方形中,,點(diǎn)在邊上,由往運(yùn)動(dòng),速度為,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,將沿著翻折至,點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,所在直線與邊交與點(diǎn),
(1)如圖,當(dāng)時(shí),求證:;
(2)如圖,當(dāng)為何值時(shí),點(diǎn)恰好落在邊上;
(3)如圖,當(dāng)時(shí),求的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題發(fā)現(xiàn):
()如圖①,中,,,,點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn),則的最小值為__________.
()如圖②,矩形中,,,點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上,求的最小值.
()如圖③,矩形中,,,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且,點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn),把沿翻折,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn),連接、,四邊形的面積是否存在最小值,若存在,求這個(gè)最小值及此時(shí)的長度;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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