【題目】一位同學(xué)拿了兩塊45°的三角尺△MNK,△ACB做了一個(gè)探究活動(dòng):將△MNK的直角頂點(diǎn)M放在△ABC的斜邊AB的中點(diǎn)處,設(shè)AC=BC=a.

(1)如圖1,兩個(gè)三角尺的重疊部分為△ACM,則重疊部分的面積為 , 周長(zhǎng)為;
(2)將圖1中的△MNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到圖2,此時(shí)重疊部分的面積為 , 周長(zhǎng)為;
(3)如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1,圖2的位置,如圖3所示,猜想此時(shí)重疊部分的面積為多少?并試著加以驗(yàn)證.

【答案】
(1);(1+ )a
(2)a2;2a
(3)

解:猜想:重疊部分的面積為

理由如下:

過(guò)點(diǎn)M分別作AC、BC的垂線MH、MG,垂足為H、G

設(shè)MN與AC的交點(diǎn)為E,MK與BC的交點(diǎn)為F

∵M(jìn)是△ABC斜邊AB的中點(diǎn),AC=BC=a

∴MH=MG=

又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF,

∴∠HME=∠GMF,

∴Rt△MHE≌Rt△MGF

∴陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積

∵正方形CGMH的面積是MGMH= × =

∴陰影部分的面積是


【解析】解:(1)∵AM=MC= AC= a,則
∴重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為 a2 , 周長(zhǎng)為(1+ )a.(2)∵重疊部分是正方形
∴邊長(zhǎng)為 a,面積為 a2 , 周長(zhǎng)為2a.
(1)由等腰直角三角形的性質(zhì):底邊上的中線與底邊上的高重合,得到△AMC是等腰直角三角形,AM=MC= AC= a,則重疊部分的面積是△ACB的面積的一半,為 a2 , 周長(zhǎng)為(1+ )a.(2)易得重疊部分是正方形,邊長(zhǎng)為 a,面積為 a2 , 周長(zhǎng)為2a.(3)過(guò)點(diǎn)M分別作AC、BC的垂線MH、MG,垂足為H、G.求得Rt△MHE≌Rt△MGF,則陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求CD的長(zhǎng);
(2)現(xiàn)汛期來(lái)臨,水面要以每小時(shí)4m的速度上升,則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間橋洞會(huì)剛剛被灌滿(mǎn)?

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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M,與BC相交于點(diǎn)N,連接BM,DN.

(1)求證:四邊形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的長(zhǎng).

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(1)當(dāng)t=_______時(shí),ABC的周長(zhǎng)被線段AP平分為相等的兩部分.

(2)當(dāng)t=_______時(shí),APC的面積等于ABC面積的一半.

(3)還有一個(gè)DEF,E=90°,如圖所示,DE=4cm,DF=5cm,D=A. ABC的邊上,若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,與P 同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),沿著邊AB-BC-CA運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)A停止. 在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中某一時(shí)刻,恰好APQDEF全等,則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度 cm/s.

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①AC=AD;②BD⊥AC;③四邊形ACED是菱形.
其中正確的個(gè)數(shù)是(

A.0
B.1
C.2
D.3

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(1)設(shè)通道的寬度為x米,則a=(用含x的代數(shù)式表示);
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