Question

【題目】已知P是⊙O外的一點(diǎn),OP=4,OP交⊙O于點(diǎn)A,且A是OP的中點(diǎn),Q是⊙O上任意一點(diǎn)．

(1)如圖1,若PQ是⊙O的切線,求∠QOP的大小；

(2)如圖2,若∠QOP=90°,求PQ被⊙O截得的弦QB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) ∠QOP=60°； (2) QB=．

【解析】

（1）先利用切線的性質(zhì)得到OQ⊥PQ，然后利用銳角三角函數(shù)值的定義求∠QOP的大�。�

（2）利用垂徑定理，作OD⊥BQ于D，如圖2，則QD=BD，先利用勾股定理計(jì)算出PQ，再證明Rt△QOD∽R(shí)t△QPO，利用相似比計(jì)算出QD，從而得到BQ的長(zhǎng)．

(1)如圖1，∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ，∵A是OP的中點(diǎn)，∴OP=2OA，

在Rt△OPQ中，cos∠QOP==，∴∠QOP=60°；

(2)作OD⊥BQ于D，如圖2，則QD=BD，∵∠QOP=90°，OP=4，OQ=2，∴PQ=2，

∵∠OQD=∠PQO，∴Rt△QOD∽R(shí)t△QPO，∴QD：OQ=OQ：QP，即QD：2=2：2，

∴QD=，∴QB=2QD=．