Question

同學(xué)們，折紙中也有很大的學(xué)問呢．黃老師出示了以下三個(gè)問題，小聰、小明、小慧分別在黑板上進(jìn)行了板演，請你也解答這個(gè)問題：
在一張長方形ABCD紙片中，AD=25cm，AB=20cm，現(xiàn)將這張紙片按如下列圖示方式折疊，分別求折痕的長．
（1）如圖1，折痕為AE；
（2）如圖2，P，Q分別為AB，CD的中點(diǎn)，折痕為AE；
（3）如圖3，折痕為EF．

Answer 1

分析：本題的折疊問題由易到難，圖（1）（2）都是軸對稱的兩個(gè)三角形，圖（3）是軸對稱的兩個(gè)直角梯形，過F作FM⊥BC，F(xiàn)M就與FD對稱，將問題轉(zhuǎn)化求解．

解答：解：（1）∵由折疊可知△ABE為等腰直角三角形，
∴AE=

2

AB=20

2

cm；

（2）∵由折疊可知，AG=AB，∠GAE=∠BAE，
∵點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)
∴AP=

1

2

AB
∴AP=

1

2

AG
在Rt△APG中，得∠GAP=60°
∴∠EAB=30°
在Rt△EAB中，AE=

2 3

3

AB=

40

3

3

cm；

（3）解法一：連接BD，交EF于點(diǎn)O，
由勾股定理得：BD=

252+202

=5

41

由折疊可知，折痕EF為BD的垂直平分線
∴OD=

1

2

BD=

5

2

41

可證△DOF∽△DAB
∴

FO

AB

=

DO

AD

∴FO=2

41

由對稱性可知：EF=2FO=4

41

；

解法二：過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H，連BF，
由折疊可知DE=BE
∵AF=FG，DF=AB，GD=AB
∴△ABF≌△GDF
又∵∠GDF=∠CDE，GD=CD
∴Rt△GDF≌Rt△CDE
∴DF=DE=BE
在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²
∵CB=25，CD=20，20²+CE²=（25-CE）²
∴CE=4.5，BE=25-4.5=20.5，HF=20.5-4.5=16
在Rt△EHF中
∵EH²+HF²=FE²，20²+16²=FE²
∴EF=

656

=4

41

cm．

點(diǎn)評：本題考查圖形的折疊與拼接，同時(shí)考查了三角形、四邊形等幾何基本知識，解題時(shí)應(yīng)分別對每一個(gè)圖形進(jìn)行仔細(xì)分析．