Question

如圖，頂點為A（－4,4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點（0,0），點P在該圖象上，OP交其對稱軸l于點M，點M、N關于點A對稱，連接PN，ON.

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）若點P的坐標是（－6,3），求△OPN的面積；

（3）當點P在對稱軸l左側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，

請解答下面問題：

       ① 求證：∠PNM＝∠ONM；

② 若△OPN為直角三角形，請直接寫出所有符合

條件的點P的坐標.

Answer 1

1）解：設二次函數(shù)的表達式為，

        把點（0,0）代入表達式，解得.  ………………………………………1分

        ∴二次函數(shù)的表達式為，

即.   ……………………………………………………………2分

（2）解：設直線OP為，

將P（－6,3）代入，解得，

∴.

當時，.

∴M（－4,2）.   ……………………………………………………………………3分

∵點M、N關于點A對稱，

∴N（－4,6）.

∴MN＝4.

∴.  ……………………………………………………4分

（3）①證明：設點P的坐標為，

其中，

       設直線OP為，

       將P代入，解得.

∴.

當時，.

∴M（－4,）.

∴AN＝AM＝＝.

設對稱軸l交x軸于點B，作PC⊥l于點C，

則B（－4,0），C.

∴OB＝4，NB＝＝，PC＝，

NC＝＝.

則，.

∴.

又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，

∴△NCP∽△NBO.

∴∠PNM＝∠ONM. …………………………………………………………………6分

② （）.