【題目】如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn),ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.
(1)求證:FD2=FBFC;
(2)若G是BC的中點(diǎn),連接GD,GD與EF垂直嗎?并說明理由.
【答案】
(1)證明:∵E是Rt△ACD斜邊中點(diǎn).
∴DE=EA.
∴∠A=∠2.
∵∠1=∠2.
∴∠1=∠A.
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A.
∴∠FDC=∠FBD.
∵∠F是公共角.
∴△FBD∽△FDC.
∴ .
∴FD2=FBFC
(2)證明:GD⊥EF,
理由如下:
∵DG是Rt△CDB斜邊上的中線,
∴DG=GC,
∴∠3=∠4,
由(1)得∠4=∠1,
∴∠3=∠1,
∵∠3+∠5=90°,
∴∠5+∠1=90°,
∴DG⊥EF.
【解析】(1)要求證:FD2=FBFC,只要證明△FBD∽△FDC,從而轉(zhuǎn)化為證明∠FDC=∠FBD;(2)GD與EF垂直,要證DG⊥EF,只要證明∠5+∠1=90°,即轉(zhuǎn)化為證明∠3=∠4即可.
【考點(diǎn)精析】掌握直角三角形斜邊上的中線和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn),弦AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)E,若AB=6,AD=5,則DE的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某鮮花銷售部在春節(jié)前20天內(nèi)銷售一批鮮花.其中,該銷售部公司的鮮花批發(fā)部日銷售量y1(萬朵)與時(shí)間x(x為整數(shù),單位:天)關(guān)系為二次函數(shù),部分對(duì)應(yīng)值如表所示.
時(shí)間x(天) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
銷量y1(萬朵) | 0 | 16 | 24 | 24 | 16 | 0 |
與此同時(shí),該銷售部還通過某網(wǎng)絡(luò)電子商務(wù)平臺(tái)銷售鮮花,網(wǎng)上銷售日銷售量y2(萬朵)與時(shí)間x(x為整數(shù),單位:天) 的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求y1與x的二次函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(2)求y2與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)8≤x≤20時(shí),設(shè)該花木公司鮮花日銷售總量為y萬朵,寫出y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式,并判斷第幾天日銷售總量y最大,并求出此時(shí)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC是⊙O的切線,切點(diǎn)為B,OC相交于點(diǎn)D,且CD=2,BC=4,
(1)求⊙O的半徑;
(2)連接AD并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)E,取BE的中點(diǎn)F,連接DF,試判斷DF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,內(nèi)切圓半徑為1,則三角形的周長(zhǎng)為( )
A.15
B.12
C.13
D.14
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC、△DCE、△FEG為等邊三角形,邊長(zhǎng)分別為2、3、5,且從左至右如圖排列,連接BF,交DC、DE分別于M、N兩點(diǎn),則△DMN的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)請(qǐng)直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系;
(2)將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),如圖②,連接AE,請(qǐng)判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),請(qǐng)判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過程;若變化,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交線段BC,AC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作DF⊥AC,垂足為F,線段FD,AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)若CF=1,DF= ,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于問題:證明不等式a2+b2≥2ab,甲、乙兩名同學(xué)的作業(yè)如下: 甲:根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)可知(a﹣b)2≥0,
∴a2﹣2ab+b2≥0,
∴a2+b2≥2ab.
乙:如圖1,兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a、b(b≤a),如圖2,先將邊長(zhǎng)為a的正方形沿虛線部分分別剪成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分,若再將Ⅰ、Ⅱ和邊長(zhǎng)為b的正方形拼接成如圖3所示的圖形,可知此時(shí)圖3的面積為2ab,其面積小于或等于原來兩個(gè)正方形的面積和,故不等式a2+b2≥2ab成立.
則對(duì)于兩人的作業(yè),下列說法正確的是( )
A.甲、乙都對(duì)
B.甲對(duì),乙不對(duì)
C.甲不對(duì),乙對(duì)
D.甲、乙都不對(duì)
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