【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在線段OA上,從點(diǎn)A以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q在線段AB上,從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)B以 個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ為直角三角形;
(3)過點(diǎn)P作PE∥y軸,交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QF∥y軸,交拋物線于點(diǎn)F,連接EF,當(dāng)EF∥PQ時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴當(dāng)y=0時(shí),x=3,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),當(dāng)x=0時(shí),y=3,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3).
∵將A(3,0),B(0,3)代入得: ,解得 ,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)
解:∵OA=OB=3,∠BOA=90°,
∴∠QAP=45°.
如圖①所示:∠PQA=90°時(shí).
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.
在Rt△PQA中, ,即 .
解得:t=1.
如圖②所示:∠QPA=90°時(shí).
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.
在Rt△PQA中, = ,即 .
解得:t= .
綜上所述,當(dāng)t=1或t= 時(shí),△PQA是直角三角形.
(3)
解:如圖③所示:
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),則EP=3﹣t.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3﹣t,t),點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),即F(3﹣t,4t﹣t2),則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2.
∵EP∥FQ,EF∥PQ,
∴四邊形EFQP為平行四邊形.
∴EP=FQ,即3﹣t=3t﹣t2.
解得:t1=1,t2=3(舍去).
將t=1代入得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,3).
【解析】(1)先求得直線AB與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),然后將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組求得b、c的值從而可得到拋物線的解析式;(2)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知OB=OA,從而可求得∠BAO=45°,然后分為∠PQA=90°和∠QPA=90°兩種情況求解即可;(3)由題意可知:EP∥FQ,EF∥PQ,故此四邊形EFQP為平行四邊形,從而得到PE=FQ,然后設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0)則可表示出點(diǎn)Q、E、F的坐標(biāo),從而可求得PE、FQ的長(zhǎng),最后根據(jù)PE=FQ列方程求解即可.
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【題目】如圖,E點(diǎn)為DF上的點(diǎn),B為AC上的點(diǎn),∠1=∠2,∠C=∠D,那么DF∥AC,請(qǐng)完成它成立的理由
∵∠1=∠2,∠2=∠3 ,∠1=∠4( )
∴∠3=∠4( )
∴________∥_______ ( )
∴∠C=∠ABD( )
∵∠C=∠D( )
∴∠D=∠ABD( )
∴DF∥AC( )
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【題目】如圖,已知:∠MON=30°,點(diǎn)A1、A2、A3在射線ON上,點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形,若OA1=1,則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為_____.
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【題目】如圖,A 和 B 兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋 MN.橋造在何處才能使從 A 到 B 的路徑 AMNB 最短?在下圖中畫出路徑,不寫畫法但要說明理由.(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直.)
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【題目】如圖:直線 a,b,c 表示三條相互交叉而建的公路,現(xiàn)在要建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有( )
A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4 個(gè)
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【題目】如圖,點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上,點(diǎn)A、D在直線BC的異側(cè),AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若∠BFD=150°,求∠ACB的度數(shù).
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【題目】我們規(guī)定:若關(guān)于x的一元一次方程ax=b的解為b+a,則稱該方程為“和解方程”. 例如:方程2x=﹣4的解為x=﹣2,而﹣2=﹣4+2,則方程2x=﹣4為“和解方程”.
請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題:
(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x=m是“和解方程”,求m的值;
(2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x=mn+n是“和解方程”,并且它的解是x=n,求m,n的值.
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【題目】為響應(yīng)珠海環(huán)保城市建設(shè),我市某污水處理公司不斷改進(jìn)污水處理設(shè)備,新設(shè)備每小時(shí)處理污水量是原系統(tǒng)的1.5倍,原來處理1200m3污水所用的時(shí)間比現(xiàn)在多用10小時(shí).
(1)原來每小時(shí)處理污水量是多少m2?
(2)若用新設(shè)備處理污水960m3,需要多長(zhǎng)時(shí)間?
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【題目】如圖,⊙E的圓心E(3,0),半徑為5,⊙E與y軸相交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方),與x軸的正半軸交于點(diǎn)C,直線l的解析式為y= x+4,與x軸相交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上,當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離.
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