21、已知:如圖,O為?ABCD的對角線BD上一點(diǎn),過點(diǎn)O的直線l與?ABCD的一組對邊分別相交于點(diǎn)E、F,且OE=OF.
(1)試證明:點(diǎn)O為BD的中點(diǎn).
(2)若直線l繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),那么在旋轉(zhuǎn)過程中,直線l與?ABCD的一組對邊(或它們的延長線)分別相交于點(diǎn)E′、F′,那么OE′=OF′是否恒成立?若成立,請畫出一種情形的圖形予以證明;若不成立,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)題意可得出∠EOD=∠FOB,∠DEO=∠BFO,從而結(jié)合題意利用ASA可證明△EOD≌△FOB,繼而可證得結(jié)論.
(2)在旋轉(zhuǎn)的過程中始終有∠E'OD=∠F'OB,∠DE'O=∠BF'O,結(jié)合(1)的結(jié)論即可證明△E'OD≌△F'OB,這樣即可作出判斷.
解答:解:∵ABCD是平行四邊形,
∴∠EOD=∠FOB,∠DEO=∠BFO,
又∵OE=OF,
∴△EOD≌△FOB(ASA),
∴OB=OD,即點(diǎn)O為BD的中點(diǎn).
(2)OE′=OF′恒成立.
證明:旋轉(zhuǎn)后如圖所示:

∵ABCD是平行四邊形,
∴∠E'OD=∠F'OB,∠DE'O=∠BF'O,
由(1)得OB=OD,
∴△E'OD≌△F'OB(ASA).
∴OE′=OF′恒成立.
點(diǎn)評:本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定,難度一般,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形對邊平行的性質(zhì)得出∠E'OD=∠F'OB,∠DE'O=∠BF'O,然后結(jié)合題意即可作出判斷.
練習(xí)冊系列答案
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已知:如圖,BC為半圓的直徑,O為圓心,D是弧AC的中點(diǎn),四邊形ABCD的對角線AC、BD交于精英家教網(wǎng)點(diǎn)E.
(1)求證:△ABE∽△DBC;
(2)已知BC=
5
2
,CD=
5
2
,求sin∠AEB的值;
(3)在(2)的條件下,求弦AB的長.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB為⊙O的弦,過點(diǎn)O作AB的平行線,交⊙O于點(diǎn)C,直線OC上一點(diǎn)D滿足∠D=∠ACB.
(1)判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若⊙O的半徑等于4,tan∠ACB=
43
,求CD的長.

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,AB為⊙O的直徑,AB=AC,BC交⊙O于點(diǎn)D,AC交⊙O于點(diǎn)E,∠BAC=45度.給出以下五個(gè)結(jié)論:①∠EBC=22.5°;②BD=DC;③AE=2EC;④劣弧AE是劣弧DE的2倍;⑤AE=BC.其中正確結(jié)論的序號(hào)是( 。
A、①②③B、①②④C、①②⑤D、①②③⑤

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精英家教網(wǎng)已知:如圖,BD為ABCD的對角線,O為BD的中點(diǎn),EF⊥BD于點(diǎn)O,與AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.求證:DE=DF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,BD為∠ABC的角平分線,且BD=BC,E為BD的延長線上的一點(diǎn),BE=BA,過E作EF⊥AB,F(xiàn)為垂足,下列結(jié)論:①∠ABE=∠ACE;②∠BCE+∠BCD=180°;③AE=EC;④BE+BD=2BF,其中正確的是( 。

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