【題目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),∠EDF=90°.
(1)(觀察發(fā)現(xiàn))如圖①,若點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn),則圖中全等三角形一共有 對;
(2)(類比探究)若將∠EDF繞點(diǎn)D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E、F點(diǎn)分別在AB、CA延長線上時,BE=AF嗎?請利用圖②說明理由.
(3)(解決問題)連結(jié)EF,把△EDF把繞點(diǎn)D在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到DF與△ABC的腰所在的直線垂直時,請直接寫出∠BDF的度數(shù).
【答案】(1)3;(2)BE=AF;見解析;(3)45°或135°.
【解析】
(1)有3對,即△EDB≌△FDA,△EDA≌△FDC,△ADB≌△ADC.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD,根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可證出△BDE≌△ADF(ASA),其余同理可證得;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補(bǔ)角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD,根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF,由此即可證出△EDB≌△FDA(ASA),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE=AF.
(3)畫出符合條件的圖形即可求解.
(1)有3對,即△EDB≌△FDA,△EDA≌△FDC,△ADB≌△ADC.證明如下:
∵AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD,
∴△ADB≌△ADC;
∵∠EDB+∠EDA=90°,∠EDA+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,,
∴△EDB≌△FDA,
同理可證△EDA≌△FDC.
(2)BE=AF,證明如下:
連接AD,如圖②所示.
∵∠ABD=∠BAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,,
∴△EDB≌△FDA(ASA),
∴BE=AF.
(3)45°或135°.如圖所示:
∵DF⊥AC,
∴∠CDF=45°,
∴∠BDF=135°;
或者
∵DF⊥AB,
∴∠BDF=45°;
故答案是:45°或135°.
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【題目】如圖,矩形ABCD的邊BC與x軸重合,B、C對應(yīng)的橫坐標(biāo)是一元二次方程的兩根,E是AD與y軸的交點(diǎn),其縱坐標(biāo)為2,過A、C作直線交y軸于F.
(1)求直線AF的解析式.
(2)M是BC上一點(diǎn),其橫坐標(biāo)為2,在坐標(biāo)軸上,你能否找到一點(diǎn)P,使?若能,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
(3)點(diǎn)Q是x軸上一動點(diǎn),連接AQ,Q在運(yùn)動過程中AQ+是否存在最小值?若存在,請求出AQ+最小值及Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
備用圖
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【題目】如圖,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為點(diǎn)D,點(diǎn)E,BE、CD相交于點(diǎn)O.∠1=∠2,則圖中全等三角形共有( )
A. 4對B. 3對C. 2對D. 5對
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【題目】如圖,在△ABC中,D,E是BC邊上的兩點(diǎn),AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=110°,∠BAE=60°,則∠CAE的度數(shù)為( )
A.10°B.20°
C.30°D.60°
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【題目】如圖,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=的圖象上,則k的值為( )
A.-4 B.4 C.-2 D.2
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【題目】近年來,安全快捷、平穩(wěn)舒適的中國高鐵,為世界高速鐵路的發(fā)展樹立了新的標(biāo)桿,隨著中國特色社會主義進(jìn)入新時代,作為“中國名片”的高速鐵路也將踏上自己的新征程,這就意味著今后外出旅行的路程與時間將大大縮短,但也有不少游客根據(jù)自已的喜好依然選擇乘坐普通列車,已知從咸寧地到某地的普通列車行駛路程是520千米,是高鐵行駛路程的1.3倍,請完成以下問題:
(1)高鐵行駛的路程為_____千米.
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【題目】已知:三角形紙片ABC中,∠C=90°,AB=12,BC=6,B′是邊AC上一點(diǎn).將三角形紙片折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)B′重合,折痕與BC、AB分別相交于E、F.設(shè)BE=x,
(1)若x=4,求B′C的長;
(2)當(dāng)△AFB′是直角三角形時,求出x的值.
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【題目】我們在學(xué)習(xí)“實(shí)數(shù)”時畫了這樣一個圖,即“以數(shù)軸上的單位長為‘1’的線段作一個正方形,然后以原點(diǎn)O為圓心,正方形的對角線長為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)A”,請根據(jù)圖形回答下列問題:
(1)線段OA的長度是多少?(要求寫出求解過程)
(2)這個圖形的目的是為了說明什么?
(3)這種研究和解決問題的方式體現(xiàn)了 的數(shù)學(xué)思想方法.(將下列符合的選項(xiàng)序號填在橫線上)
A.數(shù)形結(jié)合 B.代入 C.換元 D.歸納
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