Question

（8分）若矩形的一個短邊與長邊的比值為，（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形
（1）      操作：請你在如圖15所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD。
（2）      探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是，請說明理由。
（3）      歸納：通過上述操作及探究，請概括出具體有一般性的結論（不需證明）

Answer 1

解（1）以AD為邊可作出兩個正方形AEFD與AE′F′D′（AB＞AD），如圖4所示
（2）矩形EBCF不是黃金矩形，理由如下：
 
設AB=a，AD=b（a＞b），則BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD為黃金矩形，得=
∴==÷（1+）=÷（1+）=≠
∴矩形EBCF不是黃金矩形
矩形E′BCF′是黃金矩形
證明：如圖4，∵==（1-）÷=（1-）÷=
∴E′BCF′是黃金矩形
（3）由（1）、（2）可發(fā)現(xiàn)結論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形。

略