Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC＝OA．

（1）求拋物線解析式；

（2）過(guò)直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)M作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)N．已知M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，試用含m的式子表示MN的長(zhǎng)及△ACM的面積S，并求當(dāng)MN的長(zhǎng)最大時(shí)S的值；

（3）如圖2，D（0，﹣2），連接BD，將△OBD繞平面內(nèi)的某點(diǎn)（記為P）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△O′B′D′，O、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′、B′、D′．若點(diǎn)B′、D′兩點(diǎn)恰好落在拋物線上，求旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）MN＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），S△ACM＝，m＝﹣時(shí)，MN最大，此時(shí)S＝；（3）P（-，）．

【解析】

（1）先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出直線AC的解析式，待定點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，用m表示線段MN的長(zhǎng)度，運(yùn)用二次函數(shù)分析其最值即可；

（3）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，明確B′D′與BD平行且相等，待定點(diǎn)B′、D′的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可得出B′、D′的坐標(biāo)，而后運(yùn)用中點(diǎn)公式求出中心的坐標(biāo)即可；

解：（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得

A（﹣3，0）

設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），

將C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如圖1，

設(shè)直線AC解析式為y＝kx+d

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴直線AC解析式為y＝x+3，

設(shè)M（m，﹣m2﹣2m+3），則N（m，m+3），則MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），

S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝，

MN＝﹣m2﹣3m＝﹣+，

∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，

∴m＝﹣時(shí)，MN最大，此時(shí)S＝；

（3）如圖2中，旋轉(zhuǎn)180°后，對(duì)應(yīng)線段互相平行且相等，則BD與B′D′互相平行且相等．

∵O′B′＝OB＝1，O′D′＝OD＝2，

設(shè)B′（t，﹣t2﹣2t+3），則D′（t+1，﹣t2﹣2t+3+2）

∵D′在拋物線上，則﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝﹣t2﹣2t+3+2，

解得，t＝-，則B′的坐標(biāo)為（-，），

P是點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)B′（-，），的對(duì)稱中心，

，，

∴P（-，）．