Question

【題目】將一張正方形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小正方形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，如此循環(huán)進行下去．請將下表中空缺的數據填寫完整，并解答所提出的問題：

操作次數	1	2	3	4	…
正方形個數	4	7			…

（1）如果剪100次，共能得到　 　個正方形；

（2）如果剪n次共能得到bn個正方形，試用含有n、bn的等式表示它們之間的數量關系　 　；

（3）若原正方形的邊長為1，設an表示第n次所剪的正方形的邊長，試用含n的式子表示an　 　；

（4）試猜想a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an與原正方形邊長的數量關系，并用等式寫出這個關系　 　．

Answer 1

【答案】（1）301；（2）bn=3n+1；（3）；（4）1﹣．

【解析】試題分析：（1）觀察圖形及表格發(fā)現(xiàn)每多剪一刀就會增加3個小正方形，據此填表即可；

（2）根據得到的規(guī)律得到通項公式，然后代入求值即可；

（3）根據每次將邊長一分為二即可得到答案；

（4）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入數值即可求得答案．

解：觀察圖形知道：剪一次，有4個小正方形，

剪兩次有7個小正方形，

剪三次有10個小正方形，

剪四次有13個小正方形，

規(guī)律：每多剪一刀就會增加3個小正方形，

故第n個共有4+3（n﹣1）=3n+1個，

（1）令n=100得3n+1=3×100=301；

（2）剪n次共能得到bn個正方形，則用含有n、bn的等式表示它們之間的數量關系為bn=3n+1；

（3）第一次所剪的正方形的邊長為，

第二次所剪的正方形的邊長為；

第三次所剪的正方形的邊長為，

…

第n次所剪的正方形的邊長an=；

（4）a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=+++…+=1﹣.