Question

如圖，在△PAB中，∠APB=120°，M，N是AB上兩點(diǎn)，且△PMN是等邊三角形，求證：BM•PA=PN•BP．

Answer 1

分析：根據(jù)所證的條件分析，本題需要證明△BMP∽△PNA求解；通過(guò)證明∠B=∠APN，∠BPM=∠A，即可得出△BMP和△PNA相似．解題時(shí)要注意選擇適宜的判定定理．

解答：證明：∵△PMN為等邊三角形，
∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°，
∴∠BMP=∠PNA=120°．
∵∠BPA=120°，
∴∠BPM+∠APN=60°．
在△BMP中，∠B+∠BPM=60°，
∴∠B=∠NPA，
∴△BMP∽△PNA，
∴

PA

BP

=

PN

BM

，
∴BM•PA=PN•BP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，判定兩三角形相似的方法有：
①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；
④平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．