Question

如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象與二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象在第一象限內(nèi)相交A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為1，3，且AB=2

5

（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）如果M為x軸上一點(diǎn)，N為y軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，可找出兩坐標(biāo)之間的關(guān)系，由AB兩點(diǎn)之間的距離可求出K的值，從而求出其解析式；
（2）根據(jù)（1）中所求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入二次函數(shù)的解析式即可求出b、c的值，從而求出二次函數(shù)的解析式；
（3）設(shè)出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求出過(guò)A，B兩點(diǎn)直線的解析式，根據(jù)其解析式可設(shè)出過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線解析式，找出兩點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求出未知數(shù)的值從而求出其解析式．

解答：（1）解：∵A、B兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為1，3，
故可設(shè)A（x₁，1）B（x₂，3），分別代入反比例函數(shù)的解析式為k=x₁，k=3x₂，
解得x₁=3x₂，
由AB=2

5

，
可得（x₁-x₂）²+（1-3）²=（2

5

）²，x₂=±2，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象在第一象限，
故x₂=2，k=3x₂=6，
∴該反比例函數(shù)的解析式為：
y=

6

x

；（3分）

（2）由（1）可知，A（6，1），B（2，3），代入二次函數(shù)的解析式，
得

-36+6b+c=1 -4+2b+c=3

，
解得

c=-8 b= 15 2

，
故此二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+

15

2

x-8；（2分）

（3）解：設(shè)M（x，0），N（0，y），過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b，
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得

6k+b=1 2k+b=3

，
解得k=-

1

2

．
則設(shè)經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn)的直線解析式為y=-

1

2

x+b，
把M（x，0），N（0，y）代入得y=b，x=2b，
∵M(jìn)N=AB，即x²+y²=（2

5

）²，即b²=4，b=±2，
故過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線解析式為：y=-

1

2

x+2或y=-

1

2

x-2．（4分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一次函數(shù)，反比例函數(shù)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，涉及面較廣，但難度適中．