【題目】如圖,在矩形ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,取EF的中點G,連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論:

BECD;

②∠DGF135°;

③△BEG≌△DCG

④∠ABG+ADG180°

⑤若,則3SBDG13SDGF

其中正確的結(jié)論是_____.(請?zhí)顚懰姓_結(jié)論的序號)

【答案】①③④⑤

【解析】

①根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠BAD=ABC=90°,AB=CD,再由角平分線的性質(zhì)可得出∠BAE=45°,通過角的計算即可得出∠BAE=BEA,從而得出AB=BE=CD,即①正確;②根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角相等可得出CEF為等腰直角三角形,由此得出∠CGF=90°,∠FCG=45°,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠CGD45°,再由角的關(guān)系即可得出∠DGF=CGD+CGF135°,即②不正確;③通過角的計算可得出∠BEG=DCG,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出CG=EG,由此即可利用全等三角形的判定定理(SAS)證出BEG≌△DCG,即③正確;④由③可得出∠EBG=CDG,根據(jù)角的計算即可得出∠ABG+ADG=180°,即④正確;⑤過點GGMDF于點M,設AB=2aa0),則AD=3a,利用分割圖形求面積法結(jié)合三角形的面積公式可算出SBDGSDGF的值,由此可得出⑤正確.綜上即可得出結(jié)論.

解:①∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠BAD=∠ABC90°,ABCD

AE是∠BAD的角平分線,

∴∠BAE=∠DAE45°,

∴∠AEB90°﹣∠BAE45°=∠BAE,

BEABCD,①正確;

②∵ABCD,

∴∠CFE=∠BAE45°,∠CEF=∠AEB45°,

∴△CEF為等腰直角三角形,

∵點GEF的中點,

CGEF,∠CGF90°,∠FCG45°,

∵∠FCG=∠CGD+CDG45°

∴∠CGD45°,

∴∠DGF=∠CGD+CGF45°+90°135°,②不正確;

③∵△CEF為等腰直角三角形,

CGEG

∵∠BEG180°﹣∠CEF135°,∠DCG180°﹣∠FCG135°

∴∠BEG=∠DCG,

BEGDCG中,有,

∴△BEG≌△DCGSAS),③正確;

④∵△BEG≌△DCG

∴∠EBG=∠CDG,

∵∠ABG=∠ABC+EBG,∠ADG=∠ADC﹣∠CDG

∴∠ABG+ADG=∠ABC+ADC180°,④正確;

⑤過點GGMDF于點M,如圖所示.

,

∴設AB2aa0),則AD3a

∵∠DAF45°,∠ADF90°

∴△ADF為等腰直角三角形,

DFAD3a

∵△CGF為等腰直角三角形,

GMCMCFDFCD)=a,

SDGFDFGM×3a×a

SBDGSBCD+S梯形BGMCSDGM×2a×3a+×3a+a×a×a×2a+a)=

3SBDG13SDGF,⑤正確.

綜上可知:正確的結(jié)論有①③④⑤.

故答案為:①③④⑤.

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