Question

已知，如圖，D是線段AB上的點，以BD為直徑作⊙O，AP切⊙O于E，BC⊥AF于C，連接DE、BE．
（1）求證：BE平分∠ABC；
（2）若D是AB中點，⊙O直徑BD=3

3

，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）可利用CE是圓的切線來求證，連接OE，因此OE∥BC（都和AF垂直），可根據(jù)內(nèi)錯角相等和等邊對等角，將相等角進行替換即可得出∠EBD=∠EBC．
（2）可通過構建直角三角形來求解．過E作EH⊥AB于H，那么不難得出EDH和BDE相似，可得出DE²=DH•DB，那么求出DH就是關鍵，也就是求出BH的長．根據(jù)（1）的角平分線，我們不難得出BH=BC，那么就必須求出BC，有AB的長，只要知道∠A的正弦值就可以求出BC了，在直角三角形AOE中，AO=3OE，由此可得出∠A的正弦值，也就求出BC、BH、DH的長了，然后可根據(jù)上面上面所述的步驟求出DE的長．

解答：（1）證明：連接OE，
∵AF與⊙O切于點E，
∴OE⊥AC．
又BC⊥AF于C，
∴OE∥BC．
∴∠OEB=∠EBC，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
∴∠OBE=∠EBC，
∴BE平分∠ABC．

（2）解：過E作EH⊥AB于H，連接OE，
在直角三角形OEA中，sinA=OE：AO=OE：3OE=1：3，
直角三角形ABC中，AB=2BD=6

3

，
BC=AB•sinA=6×

1

3

=2

3

，
∵∠EHB=∠ECB=90°，BE=BE，∠EBA=∠EBC，
∴△EBH≌△ECB．
∴BH=BC=2

3

．
∴DH=

3

．
∵∠DEB=∠EHD=90°，∠EDO=∠BDE，
∴△EDH∽△BDE．
∴DE²=DH•DB=

3

×3

3

=9．
∴DE=3．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形等知識點，通過切線的性質(zhì)得出角相等或垂直是解題的關鍵．