【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(0,4),點B的坐標(biāo)為(4,0),點C的坐標(biāo)為(﹣4,0),點P在射線AB上運動,連結(jié)CP與y軸交于點D,連結(jié)BD.過P,D,B三點作⊙Q與y軸的另一個交點為E,延長DQ交⊙Q于點F,連結(jié)EF,BF.
(1)求直線AB的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)點P在線段AB(不包括A,B兩點)上時.
①求證:∠BDE=∠ADP;
②設(shè)DE=x,DF=y.請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)請你探究:點P在運動過程中,是否存在以B,D,F(xiàn)為頂點的直角三角形,滿足兩條直角邊之比為2:1?如果存在,求出此時點P的坐標(biāo):如果不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4,
代入(4,0)得:4k+4=0,
解得:k=﹣1,
則直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣x+4
(2)
解:①由已知得:
OB=OC,∠BOD=∠COD=90°,
又∵OD=OD,
∴△BDO≌△CDO,
∴∠BDO=∠CDO,
∵∠CDO=∠ADP,
∴∠BDE=∠ADP,
②連結(jié)PE,
∵∠ADP是△DPE的一個外角,
∴∠ADP=∠DEP+∠DPE,
∵∠BDE是△ABD的一個外角,
∴∠BDE=∠ABD+∠OAB,
∵∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD,
∴∠DPE=∠OAB,
∵OA=OB=4,∠AOB=90°,
∴∠OAB=45°,
∴∠DPE=45°,
∴∠DFE=∠DPE=45°,
∵DF是⊙Q的直徑,
∴∠DEF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴DF= DE,即y= x
(3)
解:當(dāng)BD:BF=2:1時,
過點F作FH⊥OB于點H,
∵∠DBO+∠OBF=90°,∠OBF+∠BFH=90°,
∴∠DBO=∠BFH,
又∵∠DOB=∠BHF=90°,
∴△BOD∽△FHB,
∴ =2,
∴FH=2,OD=2BH,
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°,
∴四邊形OEFH是矩形,
∴OE=FH=2,
∴EF=OH=4﹣ OD,
∵DE=EF,
∴2+OD=4﹣ OD,
解得:OD= ,
∴點D的坐標(biāo)為(0, ),
∴直線CD的解析式為y= x+ ,
由 得 ,
則點P的坐標(biāo)為(2,2);
當(dāng) = 時,
連結(jié)EB,同(2)①可得:∠ADB=∠EDP,
而∠ADB=∠DEB+∠DBE,∠EDP=∠DAP+∠DPA,
∵∠DEB=∠DPA,
∴∠DBE=∠DAP=45°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
過點F作FG⊥OB于點G,
同理可得:△BOD∽△FGB,
∴ = ,
∴FG=8,OD= BG,
∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°,
∴四邊形OEFG是矩形,
∴OE=FG=8,
∴EF=OG=4+2OD,
∵DE=EF,
∴8﹣OD=4+2OD,
OD= ,
∴點D的坐標(biāo)為(0,﹣ ),
直線CD的解析式為:y=﹣ x﹣ ,
由 得: ,
∴點P的坐標(biāo)為(8,﹣4),
綜上所述,點P的坐標(biāo)為(2,2)或(8,﹣4).
【解析】(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4,把(4,0)代入即可;(2)①先證出△BDO≌△COD,得出∠BDO=∠CDO,再根據(jù)∠CDO=∠ADP,即可得出∠BDE=∠ADP,②先連結(jié)PE,根據(jù)∠ADP=∠DEP+∠DPE,∠BDE=∠ABD+∠OAB,∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD,得出∠DPE=∠OAB,再證出∠DFE=∠DPE=45°,最后根據(jù)∠DEF=90°,得出△DEF是等腰直角三角形,從而求出DF= DE,即y= x;(3)當(dāng) =2時,過點F作FH⊥OB于點H,則∠DBO=∠BFH,再證出△BOD∽△FHB, =2,得出FH=2,OD=2BH,再根據(jù)∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°,得出四邊形OEFH是矩形,OE=FH=2,EF=OH=4﹣ OD,根據(jù)DE=EF,求出OD的長,從而得出直線CD的解析式為y= x+ ,最后根據(jù) 求出點P的坐標(biāo)即可;當(dāng) = 時,連結(jié)EB,先證出△DEF是等腰直角三角形,過點F作FG⊥OB于點G,同理可得△BOD∽△FGB, = ,得出FG=8,OD= BG,再證出四邊形OEFG是矩形,求出OD的值,再求出直線CD的解析式,最后根據(jù) 即可求出點P的坐標(biāo).
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【題目】某市出租車計費方法如圖所示,x(km)表示行駛里程,y(元)表示車費,請根據(jù)圖象回答下面的問題:
(1)出租車的起步價是多少元?當(dāng)x>3時,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)若某乘客有一次乘出租車的車費為32元,求這位乘客乘車的里程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
如圖1,P,Q是直線l同側(cè)兩點,請你在直線l上確定一個點R,使△PQR的周長最。
小陽的解決方法如下:
如圖2,
(1)作點Q關(guān)于直線l的對稱點Q;
(2)連接PQ′交直線l于點R;
(3)連接RQ,PQ.
所以點R就是使△PQR周長最小的點.
老師說:“小陽的作法正確.”
請回答:小陽的作圖依據(jù)是_____.
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【題目】今年“五一”節(jié),小明外出爬山,他從山腳爬到山頂?shù)倪^程中,中途休息了一段時間.設(shè)他從山腳出發(fā)后所用的時間為t(分鐘),所走的路程為s(米),s與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,下列說法錯誤的是( )
A.小明中途休息用了20分鐘
B.小明休息前爬山的平均速度為每分鐘70米
C.小明在上述過程中所走的路程為6600米
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1,0),B(3,0),且過點C(0,﹣3).
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo);
(2)請你寫出一種平移的方法,使平移后拋物線的頂點落在直線y=﹣x上,并寫出平移后拋物線的解析式.
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【題目】甲騎摩托車從A地去B地,乙開汽車從B地去A地,同時出發(fā),勻速行駛,各自到達(dá)終點后停止,設(shè)甲、乙兩人間距離為s(單位:千米),甲行駛的時間為t(單位:小時),s與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,有下列結(jié)論: ①出發(fā)1小時時,甲、乙在途中相遇;
②出發(fā)1.5小時時,乙比甲多行駛了60千米;
③出發(fā)3小時時,甲、乙同時到達(dá)終點;
④甲的速度是乙速度的一半.
其中,正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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【題目】已知拋物線y=(x﹣m)2﹣(x﹣m),其中m是常數(shù).
(1)求證:不論m為何值,該拋物線與x軸一定有兩個公共點;
(2)若該拋物線的對稱軸為直線x= . ①求該拋物線的函數(shù)解析式;
②把該拋物線沿y軸向上平移多少個單位長度后,得到的拋物線與x軸只有一個公共點.
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為3,點E,F(xiàn)分別在邊AB,BC上,AE=BF=1,小球P從點E出發(fā)沿直線向點F運動,每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈,反彈時反射角等于入射角.當(dāng)小球P第一次碰到點E時,小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 , 小球P所經(jīng)過的路程為 .
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【題目】將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度,并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍,得△AB′C′,即如圖①,我們將這種變換記為[θ,n].
(1)如圖①,對△ABC作變換[60°, ]得△AB′C′,則S△AB′C′:S△ABC=;直線BC與直線B′C′所夾的銳角為度;
(2)如圖②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,對△ABC 作變換[θ,n]得△AB′C′,使點B、C、C′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為矩形,求θ和n的值;
(3)如圖③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,對△ABC作變換[θ,n]得△AB′C′,使點B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB′C′為平行四邊形,求θ和n的值.
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