【題目】我們知道,如果兩個(gè)三角形全等,則它們面積相等,而兩個(gè)不全等的三角形,在某些情況下,可通過證明等底等高來說明它們的面積相等,已知與是等腰直角三角形,,連接、.
(1)如圖1,當(dāng)時(shí),求證
(2)如圖2,當(dāng)時(shí),上述結(jié)論是否仍然成立?如果成立,請證明;如果不成立,說明理由.
(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上,如果點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,延長交于,試猜想與的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)證明見解析;(2)成立,理由見解析;(3) GF⊥BE,證明見解析
【解析】
(1)由△ABC和△DEC是等腰直角三角形,即可得出相應(yīng)的線段相等,從而可以證明出;
(2)作AG垂直于DC的延長線于G,作BH垂直于CE,垂足為H,利用題目已知條件可證的△ACG≌△BCH,從而知道AG=BH,即可得出;
(3) 延長CG到點(diǎn)H,連接AH,根據(jù)題目已知可證的△AGH≌△DGC,得到CD=AH,∠AHG=∠HCD,進(jìn)一步證的△AHC≌△ECB,得到∠CEB=∠AHC=∠HCD,最后利用互余即可證得GF⊥BE.
證明:(1)∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形
∴AC=CB,DC=CE,∠ACB=∠DCE=90°
∵∠BCE=90°
∴∠ACD=90°
∵,
∴
(2)成立
如圖所示,作AG垂直于DC的延長線于G,作BH垂直于CE,垂足為H
∵∠DCE=90°
∴∠GCE=90°
∵BH⊥CE
∴∠BHC=90°
∴GD∥BH
∴∠GCB=∠CBH
∵∠GCB+∠ACG=90°,∠BCH+∠CBH=90°
∴∠BCH=∠ACG
在△ACG和△BCH中
∴△ACG≌△BCH
∴AG=BH
∵,,CE=CD
∴
(3)GF⊥BE
如圖所示,延長CG到點(diǎn)H,使得HG=GC,連接AH
∵點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)
∴AG=GD
在△AGH和△DGC
∴△AGH≌△DGC
∴CD=AH,∠AHG=∠HCD
∴AH∥CD
∴∠HAC+∠ACD=180°
∵∠ACB=∠DCE=90°
∴∠ACD+∠BCE=180°
∴∠HAC=∠BCE
∵△DCE是等腰三角形
∴CD=CE
∴CE=AH
在△AHC和△ECB中
∴△AHC≌△ECB
∴∠CEB=∠AHC=∠HCD
∵∠HCD+∠FCE=90°
∴∠FCE+∠CEF=90°
∴∠CFE=90°
∴GF⊥BE
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,點(diǎn)F在邊AC上,DF與BE相交于點(diǎn)G,且∠EDF=∠ABE.
求證:(1)△DEF∽△BDE;(2)DGDF=DBEF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣(2m﹣2)x+m=0有實(shí)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若原方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2,是否存在實(shí)數(shù)m,使得=1?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2kx-2k (k>0)交y軸于點(diǎn)B,與直線y=kx交于點(diǎn)A.
(1)求點(diǎn)A的橫坐標(biāo);
(2)直接寫出的x的取值范圍;
(3)若P(0,3)求PA+OA的最小值,并求此時(shí)k的值;
(4)若C(0,2)以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為一條邊的菱形,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列等式:
①; ②; ③……
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題:
(1)完成第四個(gè)等式: ;
(2)猜想第個(gè)等式(用含的式子表示),并證明其正確性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸為直線x=﹣1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),則下列結(jié)論:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正確的結(jié)論有( )個(gè).
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與探究:
(1)計(jì)算判斷:(計(jì)算并判斷大小,填寫符號:“>”“<”或“=”)
①當(dāng),時(shí),_____;
②當(dāng),時(shí),_____;
③當(dāng),時(shí),______;
④當(dāng),時(shí),______;
⑤當(dāng),時(shí),______;
⑥當(dāng),時(shí),_______;
…
(2)歸納猜想:猜想并寫出關(guān)于與(,是常數(shù),且,)之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)探究證明:請補(bǔ)全以下證明過程:
證明:根據(jù)一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù),可得,
∴,
∵,,
…
(4)實(shí)踐應(yīng)用:要制作面積為的長方形(或正方形)框架,直接利用探究得出的結(jié)論,求出框架周長的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC交⊙O于點(diǎn)D,E是的中點(diǎn),AE與BC交于點(diǎn)F,∠C=2∠EAB.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)已知CD=4,CA=6,
①求CB的長;
②求DF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,給出下列結(jié)論:①b2=4ac,②abc<0;③a>c;④4a﹣2b+c<0,其中正確的個(gè)數(shù)有( 。
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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