Question

已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程：
方程①: ；方程②: .
（1）若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，請(qǐng)說明此時(shí)哪個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，并化簡(jiǎn)；
（3）若方程①和②有一個(gè)公共根，求代數(shù)式的值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）5

試題分析：（1）根據(jù)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根可得△，再結(jié)合一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0即可求得k的值，然后再代入方程②求解即可；
（2）由方程②得△₂= ，再根據(jù)可得，由方程①、②只有一個(gè)有實(shí)數(shù)根可得，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；
（3）由a是方程①和②的公共根可得，，即可得到，，從而可以求得結(jié)果.
解：（1）∵方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根
∴ 
由③得k+2¹0
由④得(k+2)(k+4)=0
∵k+2¹0
∴k=-4
當(dāng)k=-4時(shí)，方程②為: .
解得；
（2）由方程②得△₂= .
＝-(k + 2) (k+4) =3k²＋6k+5 =3(k+1)²＋2>0.
∴.
∵方程①、②只有一個(gè)有實(shí)數(shù)根，
∴
∴此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根.
由
得(k+2)(k+4)<0
.
∵(k+2)(k+4)<0
∴；
（3）∵a是方程①和②的公共根
∴，
∴，

=
=
=2+3=5.
點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根．