Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為C．延長AB交CD于點E．連接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于點F，交⊙O于點G．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑是6cm，EC=8cm，求GF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°．

∴∠OCA+∠ACD=90°．

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC．

∵∠DAC=∠ACD，∠OCA+∠DAC=90°

∴∠0AC+∠CAD=90°．

∴∠OAD=90°．

∴AD是⊙O的切線．

（2）解：連接BG；

∵OC=6cm，EC=8cm，

∴在Rt△CEO中，OE= =10．

∴AE=OE+OA=16．

∵AF⊥ED，

∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．

∴Rt△AEF∽Rt△OEC．

∴ = ．

即： = ．

∴AF=9.6．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AGB=90°．

∴∠AGB=∠AFE．

∵∠BAG=∠EAF，

∴Rt△ABG∽Rt△AEF．

∴ = ．

即： = ．

∴AG=7.2．

∴GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4（cm）．

【解析】（1）連接OC．欲證AD是⊙O的切線，只需證明OA⊥AD即可；（2）連接BG．在Rt△CEO中利用勾股定理求得OE=10，從而求得AE=13；然后由相似三角形Rt△AEF∽Rt△OEC的對應(yīng)邊成比例求得AF=9.6，再利用圓周角定理證得Rt△ABG∽Rt△AEF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AG=7.2，所以GF=AF﹣AG=9.6﹣7.2=2.4．