【題目】已知:如圖①,在矩形中,,垂足是.點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),連接.
(1)求和的長;
(2)若將沿著射線方向平移,設(shè)平移的距離為(平移距離指點(diǎn)沿方向所經(jīng)過的線段長度).當(dāng)點(diǎn)分別平移到線段上時(shí),直接寫出相應(yīng)的的值.
(3)如圖②,將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角,記旋轉(zhuǎn)中為,在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)所在的直線與直線交于點(diǎn),與直線交于點(diǎn).是否存在這樣的兩點(diǎn),使為等腰三角形?若存在,求出此時(shí)的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)存在組符合條件的點(diǎn)、點(diǎn),使為等腰三角形; 的長度分別為或或或.
【解析】
(1)利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解;
(2)依題意畫出圖形,如圖①-1所示.利用平移性質(zhì),確定圖形中的等腰三角形,分別求出m的值;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,等腰△DPQ有4種情形,分別畫出圖形,對(duì)于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算即可.
(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
在Rt△ABD中,AB=3,AD=4,
由勾股定理得:BD=,
∵S△ABDBDAE=ABAD,
∴AE=,
∵點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn),
∴AF=AE,BF=BE,
∵AE⊥BD,
∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,AB=3,AE,
由勾股定理得:BE;
(2)設(shè)平移中的三角形為△A′B′F′,如圖①-1所示:
由對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)可知,∠1=∠2.BF=BE,
由平移性質(zhì)可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′,
①當(dāng)點(diǎn)F′落在AB上時(shí),
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
根據(jù)平移的性質(zhì)知:∠1=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′,即;
②當(dāng)點(diǎn)F′落在AD上時(shí),
∵AB∥A′B′,AB⊥AD,
∴∠6=∠2,A′B′⊥AD,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,
∴∠5=∠6,
又知A′B′⊥AD,
∴△B′F′D為等腰三角形,
∴B′D=B′F′,
∴BB′=BD-B′D=5-,即m;
(3)存在.理由如下:
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∵AE⊥BD,
∴∠AEB=90°,
∠2+∠ABD=90°,∠BAE+∠ABD=90°,
∴∠2=∠BAE,
∵點(diǎn)F是點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn),
∴∠1=∠BAE,
∴∠1=∠2,
在旋轉(zhuǎn)過程中,等腰△DPQ依次有以下4種情形:
①如圖③-1所示,點(diǎn)Q落在BD延長線上,且PD=DQ,
則∠Q=∠DPQ,
∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=3,
∴F′Q=F′A′+A′Q=,
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=,
∴DQ=BQ-BD=;
②如圖③-2所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PQ=DQ,
則∠2=∠P,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠P,
∴BA′∥PD,
則此時(shí)點(diǎn)A′落在BC邊上.
∵∠3=∠2,
∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,
∴F′Q=F′A′-A′Q=-BQ,
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:BF′2+F′Q2=BQ2,
即:,
解得:,
∴DQ= BD-BQ=5-;
③如圖③-3所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PD=DQ,
則∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,
∴∠4=90°-∠2.
∵∠1=∠2,
∴∠4=90°-∠1,
∴∠A′QB=∠4=90°-∠1,
∴∠A′QB=∠A′BQ,
∴A′Q=A′B=3,
∴F′Q=A′Q-A′F′=3-,
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:BQ=,
∴DQ=BQ-BD=;
④如圖④-4所示,點(diǎn)Q落在BD上,且PQ=PD,
則∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=3,
∴DQ=BD-BQ=5-3=2.
綜上所述,存在4組符合條件的點(diǎn)P、點(diǎn)Q,使△DPQ為等腰三角形,DQ的長度分別為:或或或.
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(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式;
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(2)直接寫出ABCD的面積 .
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① 求證:AF=AB;
② 用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明;
當(dāng)90°<∠BAC<135°時(shí),直接用等式表示線段CF、CD與CA之間的數(shù)量關(guān)系是 .
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