Question

如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，在MN上是否存在點(diǎn)D，使AB•CD=AC•BC（　　）

• A、不存在
• B、存在一點(diǎn)
• C、存在二點(diǎn)
• D、存在無(wú)數(shù)點(diǎn)

Answer 1

分析：存在兩個(gè)點(diǎn)D，使AB•CD=AC•BC成立，要證明乘積的形式通�？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式：①

AB

AC

=

BC

CD

，此時(shí)需證Rt△ABC∽R(shí)t△ACD，那么過(guò)A作MN的垂線，那么垂足即為符合條件的D點(diǎn)；②

AB

BC

=

AC

CD

，此時(shí)需證Rt△ABC∽R(shí)t△CBD，則過(guò)B作MN的垂線，垂足也符合D點(diǎn)的條件．兩者的證明過(guò)程一致，都是通過(guò)弦切角得出一組對(duì)應(yīng)角相等，再加上一組直角得出三角形相似．

解答：解：存在符合條件的點(diǎn)D，使AB•CD=AC•BC，
證明：①過(guò)A作AD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC
證明：∵M(jìn)N是半圓的切線，且切點(diǎn)為C，
∴∠ACD=∠B，
∵AB為半圓的直徑，又AD⊥MN，
∴∠ADC=∠ACB=90°
∴△ABC∽△ACD，
∴

AB

BC

=

AC

CD

，即AB•CD=AC•BC；
②過(guò)B作BD⊥MN于D，則AB•CD=AC•BC，
證明：∵M(jìn)N是半圓的切線，且切點(diǎn)為C，
∴∠BCD=∠A，
∵AB為半圓的直徑，又BD⊥MN，
∴∠BDC=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CBD，
∴

AB

AC

=

CB

CD

，即AB•CD=AC•BC，
因此MN上存在兩個(gè)點(diǎn)D，使AB•CD=AC•BC．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，弦切角定理及相似三角形的判定和性質(zhì)，其中弦切角定理為：圓的弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角．要求學(xué)生能夠熟練掌握相似的判斷和性質(zhì)并應(yīng)用，考查了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．