【題目】如圖 1,點(diǎn) A(2,1),點(diǎn) A 與點(diǎn) B 關(guān)于 y 軸對(duì)稱,ACy 軸,且 AC=3,連接 BC y 軸于點(diǎn) D.

1)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為_____,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為_____

2)如圖 2,連接 OC,OC 平分∠ACB,求證:OBOC;

3)如圖 3,在(2)的條件下,點(diǎn) P OC 上一點(diǎn),且∠PAC=45°,求點(diǎn) P 的坐標(biāo).

【答案】(1)(-2,1 2,4);(2)見(jiàn)解析;(3)P(1,2)

【解析】

(1)由軸對(duì)稱可得B、C點(diǎn)坐標(biāo);

(2)由OC 平分∠ACB,可得∠1=∠2,∠3=∠2,可得CD=DO,CE⊥y 軸于點(diǎn) E,連接 AB y 軸于點(diǎn) F,可證的△CDE≌△BDF(AAS),可得CD=BD,BD=CD=OD,∠DBO=∠DOB,可得OB⊥OC;

(3)連接 BP,作 PQ⊥x 軸于點(diǎn) Q,由點(diǎn) A,點(diǎn) B 關(guān)于 y 軸對(duì)稱 可得∠BAC =90,∠PAC =45,PA 平分∠CAB,可證的OB=OP,可得△BOF≌△POQ(AAS).可得PQ=BF=2,OQ=OF=1,P(1,2).

(1)B(-2,1),C(2,4).

(2)∵OC 平分∠ACB,

∴∠1=∠2,

∵AC∥y 軸,

∴∠3=∠2,

∴∠1=∠3,

∴CD=DO.

CE⊥y 軸于點(diǎn) E,連接 AB y 軸于點(diǎn) F,

點(diǎn) A,點(diǎn) B 關(guān)于 y 軸對(duì)稱,

∴BF⊥y 軸,

∴∠CED=∠BFD,

∵B(-2,1),C(2,4),

∴CE=BF=2,

△CDE △BDF 中,

CED BFDCDE BDF,CE BF,

∴△CDE≌△BDF(AAS).

∴CD=BD,

∴BD=CD=OD,

∴∠DBO=∠DOB,

∵∠1+∠3+∠DBO+∠DOB=180°,

∴∠3+∠DOB=90°,

∴OB⊥OC;

(3)連接 BP,作 PQ⊥x 軸于點(diǎn) Q,

點(diǎn) A,點(diǎn) B 關(guān)于 y 軸對(duì)稱,

∴AB⊥y 軸,

∴∠BAC =90

∵∠PAC =45,

∴PA 平分∠CAB,

∵OC 平分∠ACB,

∴BP 平分∠ABC.

∴∠BPC=135°,

∴∠BPO=45°.

∵∠BOP=90°,

∴OB=OP,

△BOF △POQ 中,

BFO PQO,BOF POQ,OB OP,

∴△BOF≌△POQ(AAS).

∴PQ=BF=2,OQ=OF=1,

∴P(1,2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí),如圖1.

依題意補(bǔ)全圖1;

EQ=BP,則∠PBE的度數(shù)為   ,并證明;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖2.若EQ=BP,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)寫(xiě)出求BE長(zhǎng)的思路.(可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果)

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(2)如圖②,將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及A、B的坐標(biāo);
(2)若P(0,t)(t<﹣1)是y軸上一點(diǎn),Q(﹣5,0),將點(diǎn)Q繞著點(diǎn)P順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E.當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)的圖象上時(shí),求t的值;
(3)在(2)的條件下,連接AD、AE.若M是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn),且∠DAE=∠MCB,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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