Question

如圖所示，直線l：y=kx+b（k＞0）與y軸相交于點(diǎn)A₁，以O(shè)A₁為邊作正方形OA₁B₁C₁，記作第一個(gè)正方形；然后延長(zhǎng)C₁B₁與直線相交于點(diǎn)A₂，再以C₁A₂為邊作正方形C₁A₂B₂C₂，記作第二個(gè)正方形；同樣延長(zhǎng)C₂B₂與直線相交于點(diǎn)A₃，再以C₂A₃為邊作正方形C₂A₃B₃C₃，記作第三個(gè)正方形；…依此類推，又知B₁（1，1），B₂（3，2）．
（1）求直線l的解析式；
（2）第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？
（3）試推測(cè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到A₁（0，1），A₂（1，2），所以把它們的坐標(biāo)分別代入已知直線方程，列出關(guān)于k、b的方程組，通過(guò)解方程組即可求得它們的值；
（2）、（3）題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)，然后依次計(jì)算n=1，n=2…總結(jié)出規(guī)律．

解答：解：（1）如圖，∵B₁（1，1），B₂（3，2），
∴在正方形OA₁B₁C₁和正方形C₁A₂B₂C₂中，OA₁=C₁B₁=1，A₂C₁=B₂C₂=2，
∴到A₁（0，1），A₂（1，2），
∴

b=1 k+b=2

，
解得，

k=1 b=1

，
∴直線l的解析式為：y=x+1；

（2）根據(jù)題意不難得出第一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)=1，
那么：n=1時(shí)，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：1=2⁰
n=2時(shí)，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2=2¹
n=3時(shí)，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：4=2²
即第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4；

（3）根據(jù)題意不難得出第一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)=1，
那么：n=1時(shí)，第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：1=2⁰
n=2時(shí)，第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2=2¹
n=3時(shí)，第3個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：4=2²
…
第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為：2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題．解決這類問(wèn)題首先要從簡(jiǎn)單圖形入手，抓住隨著“編號(hào)”或“序號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．