Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），頂點為D．

（1）求此拋物線的解析式．

（2）求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸．

（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D的坐標是（1，﹣4），對稱軸是直線x=1；（3）P（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）．

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），可以求得拋物線的解析式；

（2）根據（1）中的解析式化為頂點式，即可得到此拋物線頂點D的坐標和對稱軸；

（3）首先寫出存在，然后運用分類討論的數學思想分別求出各種情況下點P的坐標即可．

試題解析：（1）∵拋物線的圖象與x軸交于A（﹣1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），∴，解得： ，即此拋物線的解析式是；

（2）∵=，∴此拋物線頂點D的坐標是（1，﹣4），對稱軸是直線x=1；

（3）存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，設點P的坐標為（1，y），分三種情況討論：

①當PA=PD時=，解得，y=，即點P的坐標為（1， ）；

②當DA=DP時， =，解得，y=，即點P的坐標為（1， ）或（1， ）；

③當AD=AP時， =，解得，y=±4，即點P的坐標是（1，4）或（1，﹣4），當點P為（1，﹣4）時與點D重合，故不符合題意．

由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（1， ）或（1， ）或（1， ）或（1，4）．