Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的直角邊、分別在軸的正半軸和軸的正半軸上，過點的直線交矩形的邊于點， .

(1)求點的坐標（用含、的代數式表示）；

(2)若把沿折疊，使點恰好落在軸上的點處，

①求與的函數關系式(不需寫出的范圍)；

②當時，在坐標軸上是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②、、、

【解析】試題分析：（1）由，可知點G縱坐標為b，把y=b代入中，解得，可得點的坐標.（2）① 由矩形性質可知在中，令x=0,得y=b,得，由翻折，由一線三等角得∽，則對應邊成比例，得，在中，由勾股定理可得與的函數關系式；②，可得， ，分情況討論： ， ，所以點為符合題意的點； 可得軸，符合題意；在直線中，直線與軸的交點，也是符合題意的點； 可知是符合題意的點.

試題解析：(1)當時， ，解得：

∴點的坐標為

(2)①∵四邊形是矩形，∴

在中，當時， ，

∴，又，

∴，

∵與關于對稱,

∴， ，

∴

又，

∴

又，∴∽，

∴， ，解得： .

在中，由勾股定理得： ， ，解得： .

②， ， ， .

i) ， ，

∴點為符合題意的點，此時點.

ii)

∴

∵，∴軸， .

iii)在直線中，令，則，

∴直線與軸的交點，

在中， ，

∴點是符合題意的點.

iv)點是關于的點為點，此時，

∴點是符合題意的點.

綜上，符合題意的點的坐標為、、、.