Question

活用知識，解決問題．
（1）輪船順水航行40千米所需時間和逆水航行30千米所需時間相等，已知水流速度為3千米/小時，求輪船在靜水中的速度．
（2）將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖（1）擺放在一起，設較短的直角邊為1
①四邊形ABCD是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由______；
②將Rt△BCD沿射線BD方向平移到Rt△B₁C₁D③位置，四邊形ABC₁D₁是平行邊邊形嗎？說明你的結論和理由______；
③在Rt△BCD沿射線BD方向平移的過程中，當B的移動距離為______四邊形ABC₁D₁為矩形，其理由是______．

（3）閱讀理解：
解方程x⁴-3x²+2=0，設x²=y，則原方程可分為y²-3y+2=0，解得：y₁=2，y₂=1．
（1）當y=2時，x²=2，解得x=±；
（2）當y=1時，x²=1，解題x=±1，故原方程的解是：x₁=，x₂=-，x₃=1，x₄=-1，請利用以上方法解方程：（x²-2x）²-2x²+4x-3=0．

Answer 1

解：（1）設輪船在靜水中的速度為x千米/小時，那么順水航行速度為（3+x）千米/小時，逆水航行速度為（x-3）千米/小時，
依題意得，
解之得x=21，
經檢驗x=21是原方程的解，
答：輪船在靜水中的速度為21千米/小時；

（2）①四邊形ABCD是平行四邊形；
∵AB=CD，CB=AD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
②四邊形ABC₁D₁是平行邊邊形．
由①得AB∥CD且相等，
∴四邊形ABC₁D₁是平行邊邊形；
③由①②的結論，容易知道∠ABD=30°，而∠ABC₁=90°，
∴∠D₁BC₁=60°，
∴∠BC₁B₁=30°，
而較短的直角邊為1，即C₁B₁=1，
∴根據(jù)勾股定理得BB₁=，
∴B的移動距離為；

（3）設y=x²-2x，而原方程可化為（x²-2x）²-2（x²-2x）-3=0，
∴原方程轉換為y²-2y-3=0，
∴解得：y₁=3，y₂=-1，
①當y=3時，x²-2x=3，解得x₁=3，x₂=-1；
②當y=-1時，x²-2x=-1，解題x₃=1=x₄，
故原方程的解是：x₁=3，x₂=-1，x₃=x₄=1．
分析：（1）設輪船在靜水中的速度為x千米/小時，那么順水航行速度為（3+x）千米/小時，逆水航行速度為（x-3）千米/小時，根據(jù)輪船順水航行40千米所需時間和逆水航行30千米所需時間相等即可列出方程，解方程即可解決問題；
（2）①依題意容易知道AB=CD，CB=AD，根據(jù)平行四邊形的判定方法即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；
②利用①的結果知道在滑動過程中，始終有AB和CD平行且相等，所以利用平行四邊形的判定方法即可判定四邊形ABC₁D₁是平行邊邊形；
③利用①②的結論，容易知道∠ABD=30°，而∠ABC₁=90°，所以可以求出∠D₁BC₁=60°，然后即可求出線段B₁B的長度，也就求出了B的移動距離，理由是在直角三角形中，30°的角所對直角邊等于斜邊的一半．
（3）設y=x²-2x，而原方程可化為（x²-2x）²-2（x²-2x）-3=0，所以原方程轉換為y²-2y-3=0，然后解此方程即可求出y，接著求出x，也就解決了問題．
點評：此題比較復雜，把代數(shù)和幾何知識結合起來，第一題考查的是列出分式方程解決行程問題，第二題考查運動的平行四邊形的性質，第三題考查的是利用換元法解高次方程，對于學生的要求比較高，平常要多注意這方面的訓練．