(2002•揚(yáng)州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)A(-1,0)為圓心,AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點(diǎn)B,點(diǎn)F在⊙A上,過點(diǎn)F的切線交y軸正半軸于點(diǎn)E,交x軸正半軸于點(diǎn)C,已知CF=
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求證:AE∥BF;
(3)延長BF交y軸于點(diǎn)D,求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BD的解析式.

【答案】分析:(1)因?yàn)橐渣c(diǎn)A(-1,0)為圓心,AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點(diǎn)B,點(diǎn)F在⊙A上,過點(diǎn)F的切線交y軸正半軸于點(diǎn)E,交x軸正半軸于點(diǎn)C,可連接AF,由切線的性質(zhì)可得∠AFC=90°,因?yàn)镃F=,由勾股定理可求AC===3,進(jìn)而求出C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)OA⊥OD,AO是半徑,可得OD是⊙A的切線,因?yàn)镋F是⊙A的切線,所以EF=EO,進(jìn)而可證△AFE≌△AOE,
得∠EAC=∠FAE=∠FAO,因?yàn)椤螧=∠FAO,所以∠B=∠EAC,AE∥BF.
(3)可作FM⊥BC于M,利用直角三角形的面積可求FM==,利用勾股定理可求MC==,進(jìn)而求出OM=MC-OC,寫出F的坐標(biāo)即可;
因?yàn)檠娱LBF交y軸于點(diǎn)D,已知B、F的坐標(biāo),所以可設(shè)BF為y=kx+b,利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=x+,令x=0,求出y的值,即可求出D的坐標(biāo).
解答:(1)解:因?yàn)橐渣c(diǎn)A(-1,0)為圓心,AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點(diǎn)B,點(diǎn)F在⊙A上,過點(diǎn)F的切線交y軸正半軸于點(diǎn)E,交x軸正半軸于點(diǎn)C,連接AF.
所以O(shè)A=AB=AF=1,∠AFC=90°,
因?yàn)镃F=,由勾股定理得AC===3.
所以O(shè)C=3-1=2,
所以C(2,0).

(2)證明:∵OA⊥OD,AO是半徑,
∴OD是⊙A的切線.
∵EF是⊙A的切線,
∴EF=EO
∵AE=AE,AF=AO,
∴△AFE≌△AOE.
∴∠EAC=∠FAE=∠FAO,
∵∠B=∠FAO,
∴∠B=∠EAC.
∴AE∥BF.

(3)解:作FM⊥BC于M,因?yàn)镕M==,MC==,OM=MC-OC=
∴F(-).
設(shè)BF為y=kx+b,

解之,得
所以直線BD的解析式為y=x+
令x=0,則y=,所以D(0,).
點(diǎn)評(píng):本題需綜合利用待定系數(shù)法、勾股定理、圓的切線來解決問題.
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(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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