2.如圖,把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中,使得頂點(diǎn)E、F、P分別在線段AB、AD、AC上,已知EP=FP=4,EF=$4\sqrt{3}$,∠BAD=60°,且AB>$4\sqrt{3}$.給出下列結(jié)論:
①∠EPF=120°;
②若AP=6,則AE+AF=$8\sqrt{3}$
③若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E,F(xiàn),P分別在線的AB,AD,AC上運(yùn)動(dòng),則AP的長存在最大值8;
④若△EFP的三個(gè)頂點(diǎn)E,F(xiàn),P分別在線的AB,AD,AC上運(yùn)動(dòng),則AP的長存在最小值4.
以上結(jié)論正確的是①③④.

分析 過點(diǎn)P作PG⊥EF于G,解直角三角形即可得到結(jié)論①正確;如圖2,過點(diǎn)P作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,證明△ABC≌△ADC,Rt△PME≌Rt△PNF,即可求出AE+AF=8$\sqrt{3}$得出結(jié)論②錯(cuò)誤;如圖3,當(dāng)EF⊥AC,點(diǎn)P在EF的右側(cè)時(shí),AP有最大值,即可判斷出③正確;當(dāng)EF⊥AC,點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí),AP有最小值解直角三角形即可判斷出④正確.

解答 解:如圖1,過點(diǎn)P作PG⊥EF于G,
∵PE=PF,
∴FG=EG=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$,∠FPG=∠EPG=$\frac{1}{2}$∠EPF,
在Rt△FPG中,sin∠FPG=$\frac{FG}{PF}$=$\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴∠FPG=60°,
∴∠EPF=2∠FPG=120°;故①正確;

如圖2,過點(diǎn)P作PM⊥AB于M,PN⊥AD于N,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=AB,DC=BC,
∴∠DAC=∠BAC,
∴PM=PN,
在Rt△PME和Rt△PNF中,$\left\{\begin{array}{l}{PM=PN}\\{PE=PF}\end{array}\right.$,
∴Rt△PME≌Rt△PNF,
∴FN=EM,
在Rt△PMA中,∠PMA=90°,∠PAM=$\frac{1}{2}$∠DAB=30°,
∴AM=AP•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$,
同理AN=3$\sqrt{3}$,
∴AE+AF=(AM-EM)+(AN+NF)=6$\sqrt{3}$;故②錯(cuò)誤;

如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在EF右邊時(shí),
∵∠BAD=60°,∠EPF=120°,
∴∠BAD+∠EPF=180°,
∴點(diǎn)A,E,P,F(xiàn)四點(diǎn)共圓,
∴AP是此圓的直徑時(shí),AP最大,
∵PE=PF,
∴EF⊥AC時(shí),AP最大,
設(shè)AC與EF交于點(diǎn)O,
∵PE=PF,
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{3}$,
∵∠FPA=60°,
∴OP=2,
∵∠BAD=60°,
∴∠FAO=30°,
∴AO=6,
∴AP=AO+PO=8,故③正確;

當(dāng)點(diǎn)P在EF的左側(cè)時(shí),記作P',
在EF右側(cè)取一點(diǎn)P使∠EPF=∠EP'F=120°,
同理EF⊥AC時(shí),AP最大,AP'最小,
同理AP′=AO-OP=4,
∴最小值是4,故④正確;
故答案為①③④.

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題,主要考查了菱形的性質(zhì),解直角三角形,全等三角形的判定和性質(zhì),最值問題,等腰三角形的性質(zhì),解①的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形,解②的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形,判斷出Rt△PME≌Rt△PNF,解③④的關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)A、E、P、F四點(diǎn)共圓得出AP最大和AP'最。

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