Question

【題目】某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：已知直線a∥b，若直線c∥a，則c∥b.他們發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論運用很廣，請你利用這個結(jié)論解決以下問題：

已知直線AB∥CD，點E在AB、CD之間，點P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、EQ.

（1）如圖1，運用上述結(jié)論，探究∠PEQ與∠APE＋∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當∠PEQ＝140°時，求出∠PFQ的度數(shù)；

（3）如圖3，若點E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長線交PF于點F.當∠PEQ＝70°時，請求出∠PFQ的度數(shù).

Answer 1

【答案】(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由見解析；(2)∠PFQ＝110°；(3)∠PFQ＝145°.

【解析】

(1)

過E點作EH∥AB,再利用平行線性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE.

(2)過點E作EM∥AB，利用平行線性質(zhì)，角平分線定義可以得到角的關(guān)系，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°，再作NF∥AB，利用平行線性質(zhì)，角平分線定義可以得到角的關(guān)系，得到，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF的度數(shù).

(3)過點E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，再利用角平分線性質(zhì)得到∠DQH＝90°－α，∠FQD＝90°＋α，再利用平行線性質(zhì)、角平分線定義∠BPF＝∠BPE＝55°－α，作NF∥AB，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF即可求出答案.

(1)

過E點作EH∥AB,

∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由如下：

過點E作EH∥AB ∴∠APE＝∠PEH ∵EH∥AB，AB∥CD ∴EH∥CD

∴∠CQE＝∠QEH，∵∠PEQ＝∠PEH＋∠QEH ∴∠PEQ＝∠APE＋∠CQE

(2)

過點E作EM∥AB，如圖，同理可得，∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°

∵∠BPE＝180°－∠APE，∠EQD＝180°－∠CQE，∴∠BPE＋∠EQD＝360°－(∠APE＋∠CQE)＝220°，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD ∴∠BPF＝∠BPE，∠DQF＝∠EQD

∴∠BPF＋∠DQF＝(∠BPE＋∠EQD)＝110°，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝110°

(3)

過點E作EM∥CD，如圖，設(shè)∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，∵QH平分∠DQE，

∴∠DQH＝∠DQE＝90°－α，∴∠FQD＝180°－∠DQH＝90°＋α，

∵EM∥CD，AB∥CD ∴AB∥EM，∴∠BPE＝180°－∠PEM＝180°－(70°＋α)＝110°－α

∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝∠BPE＝55°－α，

作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝145°