【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,且對稱軸為x=﹣2,點P(0,t)是y軸上的一個動點.

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo).
(2)如圖1,當(dāng)0≤t≤4時,設(shè)△PAD的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;S是否有最小值?如果有,求出S的最小值和此時t的值.
(3)如圖2,當(dāng)點P運(yùn)動到使∠PDA=90°時,Rt△ADP與Rt△AOC是否相似?若相似,求出點P的坐標(biāo);若不相似,說明理由.

【答案】
(1)

解:對稱軸為x=﹣ =﹣2,

解得b=﹣1,

所以,拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣x+3,

∵y=﹣ x2﹣x+3=﹣ (x+2)2+4,

∴頂點D的坐標(biāo)為(﹣2,4)


(2)

解:令y=0,則﹣ x2﹣x+3=0,

整理得,x2+4x﹣12=0,

解得x1=﹣6,x2=2,

∴點A(﹣6,0),B(2,0),

如圖1,過點D作DE⊥y軸于E,

∵0≤t≤4,

∴△PAD的面積為S=S梯形AOED﹣SAOP﹣SPDE,

= ×(2+6)×4﹣ ×6t﹣ ×2×(4﹣t),

=﹣2t+12,

∵k=﹣2<0,

∴S隨t的增大而減小,

∴t=4時,S有最小值,最小值為﹣2×4+12=4


(3)

解:如圖2,過點D作DF⊥x軸于F,

∵A(﹣6,0),D(﹣2,4),

∴AF=﹣2﹣(﹣6)=4,

∴AF=DF,

∴△ADF是等腰直角三角形,

∴∠ADF=45°,

由二次函數(shù)對稱性,∠BDF=∠ADF=45°,

∴∠PDA=90°時點P為BD與y軸的交點,

∵OF=OB=2,

∴PO為△BDF的中位線,

∴OP= DF=2,

∴點P的坐標(biāo)為(0,2),

由勾股定理得,DP= =2 ,

AD= AF=4 ,

= =2,

令x=0,則y=3,

∴點C的坐標(biāo)為(0,3),OC=3,

= =2,

= ,

又∵∠PDA=90°,∠COA=90°,

∴Rt△ADP∽Rt△AOC


【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸列式求出b的值,即可得到拋物線解析式,然后整理成頂點式形式,再寫出頂點坐標(biāo)即可;(2)令y=0解關(guān)于x的一元二次方程求出點A、B的坐標(biāo),過點D作DE⊥y軸于E,然后根據(jù)△PAD的面積為S=S梯形AOCE﹣SAOP﹣SPDE , 列式整理,然后利用一次函數(shù)的增減性確定出最小值以及t值;(3)過點D作DF⊥x軸于F,根據(jù)點A、D的坐標(biāo)判斷出△ADF是等腰直角三角形,然后求出∠ADF=45°,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得∠BDF=∠ADF=45°,從而求出∠PDA=90°時點P為BD與y軸的交點,然后求出點P的坐標(biāo),再利用勾股定理列式求出AD、PD,再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角相等兩三角形相似判斷即可.

練習(xí)冊系列答案
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(1)b= , c= , 點B的坐標(biāo)為;(直接填寫結(jié)果)
(2)是否存在點P,使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)過動點P作PE垂直y軸于點E,交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線.垂足為F,連接EF,當(dāng)線段EF的長度最短時,求出點P的坐標(biāo).

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(2)此次抽取的作品中等級為B的作品有 , 并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖 ;
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①若 ,則
②若DE2=BDEF,則DF=2AD.
A.①是真命題,②是真命題
B.①是真命題,②是假命題
C.①是假命題,②是真命題
D.①是假命題,②是假命題

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