Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列說法中：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④△ABD邊AB上的高等于DC.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；

②利用角平分線的定義可以推知∠CAD=30°，則由直角三角形的性質(zhì)來求∠ADC的度數(shù)；

③利用等角對(duì)等邊可以證得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點(diǎn)D在AB的中垂線上；

④利用角平分線上的一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，因此判斷出△ABD邊AB上的高等于DC.

①根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線．
故①正確；
②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°，
∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正確；
③∵∠BAD =∠B=30°，
∴AD=BD，
∴點(diǎn)D在AB的中垂線上．
故③正確；
④角平分線上的一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等, 因此判斷出△ABD邊AB上的高等于DC.

故④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共有4個(gè)．
故選D．