【題目】如圖,已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(1,0),與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).
(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式.
(2)A、B是軸上兩個(gè)動點(diǎn),且A、B間的距離為AB=4,A在B的左邊,過A作AD⊥軸交拋物線于D,
過B作BC⊥軸交拋物線于C. 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0),四邊形ABCD的面積為S.
① 求S與之間的函數(shù)關(guān)系式.
② 求四邊形ABCD的最小面積,此時(shí)四邊形ABCD是什么四邊形?
③ 當(dāng)四邊形ABCD面積最小時(shí),在對角線BD上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得△PAE的周長最小,若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及這時(shí)△PAE的周長;若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)①②四邊形ABCD是正方形③2+
【解析】試題分析:(1)先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式,然后把點(diǎn)(0,1)代入拋物線,可以求出拋物線的解析式.(2)①因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,0),AB=4,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t+4,0),分別把A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線得到C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),得到線段AD和BC的長,可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面積.②根據(jù)①得到S關(guān)于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì),可以求出面積最小時(shí)t的值,并確定此時(shí)四邊形的形狀.③當(dāng)四邊形ABCD的面積最小時(shí),ABCD是正方形,點(diǎn)A點(diǎn)C關(guān)于BD對稱,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,得到CE與BD的交點(diǎn)就是點(diǎn)P,然后求出△PAE的周長.
試題解析: (1)∵ 拋物線頂點(diǎn)為F(1,0)
∴
∵ 該拋線經(jīng)過點(diǎn)E(0,1)
∴
∴
∴ ,
即所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.
(2)① ∵ A點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0), AB=4,且點(diǎn)C、D在拋物線上,
∴ B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(+4,0),(+4, (+3)2),(,(-1)2).
∴
② .
∴ 當(dāng)=-1時(shí),四邊形ABCD的最小面積為16,
此時(shí)AD=BC=AB=DC=4,四邊形ABCD是正方形.
③ 當(dāng)四邊形ABCD的面積最小時(shí),四邊形ABCD是正方形,其對角線BD上存在點(diǎn)P, 使得ΔPAE的周長最小.
∵AE=4(定值),
∴要使ΔPAE的周長最小,只需PA+PE最小.
∵此時(shí)四邊形BCD是正方形,點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD所在直線對稱,
∴由幾何知識可知,P是直線CE與正方形ABCD對角線BD的交點(diǎn).
∵點(diǎn)E、B、C、D的坐標(biāo)分別為(1,0)(3,0)(3,4)(-1,4)
∴直線BD,EC的函數(shù)關(guān)系式分別為:y=-x+3, y=2x-2.
∴ P(,)
在Rt△CEB中,CE=,
∴△PAE的最小周長=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,真命題是( )
A. 對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形 B. 有一條對角線平分對角的四邊形是菱形
C. 菱形是對角線互相垂直平分的四邊形 D. 菱形的對角線相等
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【題目】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與直線y=x+1相交于點(diǎn)A(-1,m)和點(diǎn)B(n,5).
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中,畫出這兩個(gè)函數(shù)的大致圖象;
(3)結(jié)合圖象直接寫出x2+bx+c>x+2時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D,AD=5,BD=6,CD=4,將△ABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AB與AC重合,點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,則∠CDE的正切值為 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩校參加區(qū)教育局舉辦的學(xué)生英語口語競賽,兩校參賽人數(shù)相同.比賽結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)參賽學(xué)生成績分別為7分、8分、9分、10分(滿分為10分).
依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
(1)在圖1中,“7分”所在扇形的圓心角等于 度;將圖2的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)經(jīng)計(jì)算,乙校的平均分是8.3分,中位數(shù)是8分,請寫出甲校的平均分、中位數(shù),并從平均分和中位數(shù)的角度分析哪所學(xué)校的成績較好;
(3)如果該教育局要組織8人的代表隊(duì)參加市級團(tuán)體賽,為便于管理,決定從這兩所學(xué)校中的一所挑選參賽選手,請你分析,應(yīng)選哪所學(xué)校合適?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】森林公園的門票價(jià)格規(guī)定如下表:
購票人數(shù) | 1~50人 | 51~100人 | 100人以上 |
每人門票價(jià) | 13元 | 11元 | 9元 |
某校初一(5)(6)兩個(gè)班共104人去游森林公園,其中(5)班人數(shù)較少,不到50人;(6)班人數(shù)較多,(6)班人數(shù)多于50人且少于100人.經(jīng)估算,如果兩班都是以班為單位分別購票則一共應(yīng)付1240元;
(1)求這兩個(gè)班各有多少名學(xué)生?
(2)團(tuán)體購票與單獨(dú)購票相比較,兩個(gè)班各節(jié)約了多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以O為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,交x軸于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于MN的長為半徑畫弧,兩弧在第二象限交于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2a,b+1),則a與b的數(shù)量關(guān)系為( 。
A. a=b B. 2a-b=1 C. 2a+b=-1 D. 2a+b=1
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