Question

如圖這是某次運(yùn)動會開幕式上點(diǎn)燃火炬時在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，在地面有O、A兩個觀測點(diǎn)，分別測得目標(biāo)點(diǎn)火炬C的仰視角為α、β，OA=2米，tanα=

3

5

，tanβ=

2

3

，位于點(diǎn)O正上方2米處的D點(diǎn)發(fā)射裝置，可以向目標(biāo)C發(fā)射一個火球點(diǎn)燃火炬，該火球運(yùn)行的軌跡為一拋物線，當(dāng)火球運(yùn)行到距地面最大高度20米時，相應(yīng)的水平距離為12米（圖中E點(diǎn)）．
（1）求火球運(yùn)行軌跡的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）說明按（1）中軌跡運(yùn)行的火球能否點(diǎn)燃目標(biāo)C．

Answer 1

分析：（1）本題是拋物線的問題，要充分運(yùn)用拋物線在直角坐標(biāo)系中的解析式解題，由已知得拋物線的頂點(diǎn)及經(jīng)過一點(diǎn)，可設(shè)拋物線解析式的頂點(diǎn)式．
（2）確定C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知條件，需要解直角三角形；作CF⊥x軸，垂足為F，把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決．

解答：解：（1）已知頂點(diǎn)E（12，20）可設(shè)火球運(yùn)行拋物線解析式為
y=a（x-12）²+20，
把點(diǎn)D（0，2）代入解析式，
得a=-

1

8

，
∴火球運(yùn)行軌跡的拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為：
y=-

1

8

（x-12）²+20=-

1

8

x²+3x+2；

（2）設(shè)C（x₁，y₁），作CF⊥x軸，垂足為F，
則tanα=

CF

OF

=

y1

x1

=

3

5

，
在Rt△AFC中，tanβ=

CF

AF

=

y1

x1-2

=

2

3

，
解以上兩個分式方程得x₁=20，y₁=12，即C（20，12），
代入y=-

1

8

x²+3x+2適合，
所以點(diǎn)C在拋物線上，故能點(diǎn)燃目標(biāo)．

點(diǎn)評：本題既是實(shí)際問題，又綜合了幾方面的知識，解這類問題，需要逐層分析，逐步解答，由易到難．