【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點O為坐標(biāo)原點,經(jīng)過A(-2,6)的直線交x軸正半軸于點B,交y軸于點C,OB=OC,直線AD交x軸負(fù)半軸于點D,若△ABD的面積為27.
(1)求直線AD的解析式;
(2)橫坐標(biāo)為m的點P在AB上(不與點A,B重合),過點P作x軸的平行線交AD于點E,設(shè)PE的長為y(y≠0),求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,在x軸上是否存在點F,使△PEF為等腰直角三角形?若存在求出點F的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=2x+10;(2)y=m+3(-2<m<4);(3)存在,點F的坐標(biāo)為(,0)或(-,0)或(-,0)
【解析】
(1)根據(jù)直線AB交x軸正半軸于點B,交y軸于點C,OB=OC,設(shè)出解析式為y=-x+n,把A的坐標(biāo)代入求得n的值,從而求得B的坐標(biāo),再根據(jù)三角形的面積建立方程求出BD的值,求出OD的值,從而求出D點的坐標(biāo),直接根據(jù)待定系數(shù)法求出AD的解析式;
(2)先根據(jù)B、A的坐標(biāo)求出直線AB的解析式,將P點的橫坐標(biāo)代入直線AB的解析式,求出P的總坐標(biāo),將P點的總坐標(biāo)代入直線AD的解析式就可以求出E的橫坐標(biāo),根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論;
(3)要使△PEF為等腰直角三角形,分三種情況分別以點P、E、F為直角頂點,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出(2)中m的值,就可以求出F點的坐標(biāo).
(1)∵OB=OC,
∴設(shè)直線AB的解析式為y=-x+n,
∵直線AB經(jīng)過A(-2,6),
∴2+n=6,
∴n=4,
∴直線AB的解析式為y=-x+4,
∴B(4,0),
∴OB=4,
∵△ABD的面積為27,A(-2,6),
∴S△ABD=×BD×6=27,
∴BD=9,
∴OD=5,
∴D(-5,0),
設(shè)直線AD的解析式為y=ax+b,
∴,
解得.
∴直線AD的解析式為y=2x+10;
(2)∵點P在AB上,且橫坐標(biāo)為m,
∴P(m,-m+4),
∵PE∥x軸,
∴E的縱坐標(biāo)為-m+4,
代入y=2x+10得,-m+4=2x+10,
解得x=,
∴E(,-m+4),
∴PE的長y=m-=m+3;
即y=m+3,(-2<m<4),
(3)在x軸上存在點F,使△PEF為等腰直角三角形,
①當(dāng)∠FPE=90°時,如圖①,
有PF=PE,PF=-m+4PE=m+3,
∴-m+4=m+3,
解得m=,此時F(,0);
②當(dāng)∠PEF=90°時,如圖②,有EP=EF,EF的長等于點E的縱坐標(biāo),
∴EF=-m+4,
∴∴-m+4=m+3,
解得:m=.
∴點E的橫坐標(biāo)為x==-,
∴F(-,0);
③當(dāng)∠PFE=90°時,如圖③,有 FP=FE,
∴∠FPE=∠FEP.
∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°,
∴∠FPE=∠FEP=45°.
作FR⊥PE,點R為垂足,
∴∠PFR=180°-∠FPE-∠PRF=45°,
∴∠PFR=∠RPF,
∴FR=PR.
同理FR=ER,
∴FR=PE.
∵點R與點E的縱坐標(biāo)相同,
∴FR=-m+4,
∴-m+4=(m+3),
解得:m=,
∴PR=FR=-m+4=-+4=,
∴點F的橫坐標(biāo)為-=-,
∴F(-,0).
綜上,在x軸上存在點F使△PEF為等腰直角三角形,點F的坐標(biāo)為(,0)或(-,0)或(-,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游風(fēng)景區(qū)出售一種紀(jì)念品,該紀(jì)念品的成本為元/個,這種紀(jì)念品的銷售價格為(元/個)與每天的銷售數(shù)量(個)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)銷售價格定為多少時,每天可以獲得最大利潤?并求出最大利潤.
(3)“十一”期間,游客數(shù)量大幅增加,若按八折促銷該紀(jì)念品,預(yù)計每天的銷售數(shù)量可增加,為獲得最大利潤,“十一”假期該紀(jì)念品打八折后售價為多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2013年四川瀘州8分)如圖,為了測出某塔CD的高度,在塔前的平地上選擇一點A,用測角儀測得塔頂D的仰角為30°,在A、C之間選擇一點B(A、B、C三點在同一直線上).用測角儀測得塔頂D的仰角為75°,且AB間的距離為40m.
(1)求點B到AD的距離;
(2)求塔高CD(結(jié)果用根號表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,BC=9,點P是線段AC上的一個動點,連接BP,將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD,連接AD,則線段AD的最小值是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC和△DBE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°,點D在線段AC上.
(1)求∠DCE的度數(shù);
(2)當(dāng)點D在線段AC上運動時(D不與A重合),請寫出一個反映DA,DC,DB之間關(guān)系的等式,并加以證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一塊直角三角形的木板,它的一條直角邊AC長為1.5米,面積為1.5平方米.現(xiàn)在要把它加工成一個正方形桌面,甲、乙兩人的加工方法分別如圖(ⅰ)、(ⅱ)所示,記兩個正方形面積分別為S1、S2,請通過計算比較S1與S2的大小.
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【題目】某經(jīng)銷商從市場得知如下信息:
某品牌空調(diào)扇 | 某品牌電風(fēng)扇 | |
進(jìn)價(元/臺) | 700 | 100 |
售價(元/臺) | 900 | 160 |
他現(xiàn)有40000元資金可用來一次性購進(jìn)該品牌空調(diào)扇和電風(fēng)扇共100臺,設(shè)該經(jīng)銷商購進(jìn)空調(diào)扇臺,空調(diào)扇和電風(fēng)扇全部銷售完后獲得利潤為元.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)利用函數(shù)性質(zhì),說明該經(jīng)銷商如何進(jìn)貨可獲利最大?最大利潤是多少元?
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AC上有一點D,分別以BD為邊作等邊△BDE和等腰△BDF,邊BC、DE交于點H,點F在BA延長線上且DB=DF,連接CE.
(1)若AB=8,AD=4,求△BDF的面積;
(2)求證:BC=AF+CE.
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【題目】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則關(guān)于的一元二次方程的根為________;不等式的解集是________;當(dāng)________時,隨的增大而減。
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