Question

【題目】定義：若兩條拋物線在x軸上經(jīng)過(guò)兩個(gè)相同點(diǎn)，那么我們稱這兩條拋物線是“同交點(diǎn)拋物線”，在x軸上經(jīng)過(guò)的兩個(gè)相同點(diǎn)稱為“同交點(diǎn)”，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)(﹣2，0)、(﹣4，0)，且一條與它是“同交點(diǎn)拋物線”的拋物線y=ax2+ex+f經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣3，3)．

（1）求b、c及a的值；

（2）已知拋物線y=﹣x2+2x+3與拋物線yn=x2﹣x﹣n（n為正整數(shù)）

①拋物線y和拋物線yn是不是“同交點(diǎn)拋物線”？若是，請(qǐng)求出它們的“同交點(diǎn)”，并寫(xiě)出它們一條相同的圖像性質(zhì)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)直線y=x+m與拋物線y、yn，相交共有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．

③若直線y=k（k<0）與拋物線y=﹣x2+2x+3與拋物線yn =x2﹣x﹣n （n為正整數(shù)）共有4個(gè)交點(diǎn)，從左至右依次標(biāo)記為點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D，當(dāng)AB=BC=CD時(shí)，求出k、n之間的關(guān)系式

Answer 1

【答案】(1)，，；(2)①是“同交點(diǎn)拋物線”，“同交點(diǎn)”為：(–1，0)、(3，0)，它們圖形共同性質(zhì)有：對(duì)稱軸同為直線；②，且，；③

【解析】

(1)將(–2，0)、( –4，0)代入，即可求得b、c的值，設(shè)“同交點(diǎn)拋物線”的解析式為，將(–3，3)代入即可求得的值；

(2)①令和，分別求得與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可作出判斷；

②先求得直線與拋物線或拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的值，除去直線經(jīng)過(guò)“同交點(diǎn)”時(shí)的的值，即可求解；

③由和利用根與系數(shù)的關(guān)系求得和的值，再根據(jù)，得到即可求得答案．

(1) ∵拋物線經(jīng)過(guò)(–2，0)、( –4，0)，則代入得：，

解得：，，

設(shè)“同交點(diǎn)拋物線”的解析式為，

將(–3，3)代入得：，

解得：，

故答案為：，，；

(2)①令，則，

解得：，

∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(–1，0)、(3，0)，

令，則，

解得：，

∴拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：(–1，0)、(3，0)，

∴拋物線和拋物線是“同交點(diǎn)拋物線”，

它們圖形共同性質(zhì)：對(duì)稱軸同為直線；

②當(dāng)直線與拋物線y相交只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

由，得：，

由，

解得：，

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，)，其中為正整數(shù)，

因?yàn)殡S著的增大，的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)減小，所以當(dāng)直線與拋物線中時(shí)的拋物線相交只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

由，得：，

由，

解得：，

如圖所示：

當(dāng)直線經(jīng)過(guò)“同交點(diǎn)”時(shí)與兩拋物線只有三個(gè)交點(diǎn)，

把“同交點(diǎn)”(–1，0)代入得：，

把“同交點(diǎn)” (3，0)代入得：，

∴當(dāng)直線與拋物線、有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為：

，且，；

③設(shè)直線分別與拋物線和拋物線相交于A、D、B、C，如圖：

由，得：，

∵，，

∴，

由，得：，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

整理得：．