Question

如圖，直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B．點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是l₁和l₂上的動點(diǎn)，MN沿l₁和l₂平移．⊙O的半徑為1，∠1=60°．下列結(jié)論錯誤的是（　　）

• A．MN=

  4 3

  3

• B．l₁和l₂的距離為2
• C．若∠MON=90°，則MN與⊙O相切
• D．若MN與⊙O相切，則AM=

  3

Answer 1

分析：首先過點(diǎn)N作NC⊥AM于點(diǎn)C，直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，⊙O的半徑為1，易求得MN=

CN

sin60°

=

4 3

3

，l₁和l₂的距離為2；
若∠MON=90°，連接NO并延長交MA于點(diǎn)C，易證得CO=NO，繼而可得即O到MN的距離等于半徑，可證得MN與⊙O相切；
由題意可求得若MN與⊙O相切，則AM=

3

或

3

3

．

解答：解：如圖1，過點(diǎn)N作NC⊥AM于點(diǎn)C，
∵直線l₁∥l₂，⊙O與l₁和l₂分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，⊙O的半徑為1，
∴CN=AB=2，
∵∠1=60°，
∴MN=

CN

sin60°

=

4 3

3

，
故A與B正確；
如圖3，
若∠MON=90°，連接NO并延長交MA于點(diǎn)C，則△AOC≌△BON，
故CO=NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高為1，即O到MN的距離等于半徑．
故C正確；
如圖2，∵M(jìn)N是切線，⊙O與l₁和l₂分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴∠AMO=

1

2

∠1=30°，
∴AM=

3

；
∵∠AM′O=60°，
∴AM′=

3

3

，
∴若MN與⊙O相切，則AM=

3

或

3

3

；
故D錯誤．
故選D．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．