【題目】(感知)小亮遇到了這樣一道題:已知如圖在中,上,的延長(zhǎng)上,于點(diǎn),且,求證:.

小亮仔細(xì)分析了題中的已知條件后,如圖②過(guò)點(diǎn)作,進(jìn)而解決了該問(wèn)題.(不需要證明)

(探究)如圖③,在四邊形中,邊的中點(diǎn),的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(應(yīng)用)如圖③,在正方形中,邊的中點(diǎn),、分別為,邊上的點(diǎn),若1,∠90°,則的長(zhǎng)為 .

【答案】探究:;應(yīng)用:.

【解析】

探究:分別延長(zhǎng)DC、AE,交于點(diǎn)G,根據(jù)已知條件可以得到ABE≌△GCE,由此得到ABCG,由∠BAE=∠EAF,等量代換可證∠CGE=∠EAF,進(jìn)而得到AFGF,即可得出結(jié)論;

應(yīng)用:分別延長(zhǎng)FB、GE,交于點(diǎn)H,根據(jù)已知條件可以得到AEGBEH,由此得到AG=BH,GE=HE,然后利用三線合一的性質(zhì)得到FGFH,即可求出GF.

解:探究:ABAFCF;

證明:如圖,分別延長(zhǎng)DC、AE,交于點(diǎn)G,

ABDC,

∴∠BAE=∠CGE,∠ABE=∠GCE

BE=CE,

ABE≌△GCE,

ABCG,

又∵∠BAE=∠EAF,

∴∠CGE=∠EAF

AFGF,

ABCGGFCFAFCF;

應(yīng)用:如圖,分別延長(zhǎng)FB、GE,交于點(diǎn)H

∵∠A=∠EBH90°,∠GEA=∠HEB,AEBE,

AEGBEH,

AG=BHGE=HE,

又∵∠GEF90°,即FEGH,

FGFH

FHBF+BHBF+AG,

GF.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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延長(zhǎng)AI交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)I作⊙O的直徑MN,連接DM,AN

∵∠D=N,∴∠DMI=NAI(同弧所對(duì)的圓周角相等),

∴△MDI∽△ANI.∴,∴

如圖2,在圖1(隱去MDAN)的基礎(chǔ)上作⊙O的直徑DE,連接BE,BDBI,IF

DE是⊙O的直徑,∴∠DBE=90°

∵⊙IAB相切于點(diǎn)F,∴∠AFI=90°

∴∠DBE=IFA

∵∠BAD=E(同弧所對(duì)圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB

,∴

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn):, (用含R,d的代數(shù)式表示);

2)請(qǐng)判斷BDID的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

3)請(qǐng)觀察式子①和式子②,并利用任務(wù)(1),(2)的結(jié)論,按照上面的證明思路,完成該定理證明的剩余部分;

4)應(yīng)用:若ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為 cm

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(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)及k的值;

(2)若點(diǎn)P在圖象G上,且∠POBBAO,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,若Q(0,m)為y軸正半軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Qx軸的平行線與圖象G交于點(diǎn)M,與直線OP交于點(diǎn)N,若點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè),結(jié)合圖象,直接寫(xiě)出m的取值范圍.

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