Question

如圖，P是∠BAC平分線上一點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D，以P為圓心，PD為半徑作圓．
（1）AB與⊙P相切嗎？為什么？
（2）若平行于PD的直線MN與⊙P相切于T，并分別交AB、AC于M、N，設(shè)PD=2，∠BAC=60°，求線段MT的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)得出PD=PG，再利用切線的判定定理得出即可；
（2）結(jié)合已知畫出圖形，進(jìn)而利用勾股定理得出MT即可．

解答：解：（1）相切，
證明：過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，
∵P是∠BAC平分線上一點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D，
∴PD=PG，
∵以P為圓心，PD為半徑作圓，
∴PG=PD等于圓的半徑，
∴AB與⊙P相切．    

（2）根據(jù)已知畫出圖形：
∵平行于PD的直線MN與⊙P相切于T，PD⊥AC，
∴MN⊥AN，TN=DN，MT=MG，AG=AD，
∵PD=2，∠BAC=60°，
∴∠PAD=30°，
∴PA=4，
∴AG=AD=2

3

，
DN=NT=2，
設(shè)MT=MG=x，
∴AN²+MN²=AM²，
∴（2

3

+2）²+（2+x）²=（x+2

3

）²，
解得：x=4+2

3

，
當(dāng)如圖M′N′位置，設(shè)M′T′=y，即可得出：
∴（2

3

-2）²+（2+y）²=（2

3

-y）²，
解得：y=4-2

3

，
∴線段MT的長(zhǎng)為：4-2

3

或4+2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)定理與判定定理以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知畫出圖形得出AN²+MN²=AM²是解題關(guān)鍵．