Question

【題目】如圖，AD∥BC，∠D=90°．
（1）如圖1，若∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點(diǎn)P，試問(wèn)：點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)嗎？為什么？
（2）如圖2，如果P是DC的中點(diǎn)，BP平分∠ABC，∠CPB=35°，求∠PAD的度數(shù)為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)．理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，

∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC，

∵∠DAB的平分線與∠CBA的平分線交于點(diǎn)P，

∴PD=PE，PC=PE，

∴PC=PD，

∴點(diǎn)P是線段CD的中點(diǎn)；

（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，

∵AD∥BC，∠D=90°，

∴∠C=180°﹣∠D=90°，即PC⊥BC．

在△PBE與△PBC中，

，

∴△PBE≌△PBC（AAS），

∴∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，

∵PC=PD，

∴PD=PE，

在Rt△PAD與Rt△PAE中，

，

∴Rt△PAD≌Rt△PAE（HL），

∴∠APD=∠APE，

∵∠APD+∠APE=180°﹣2×35°=110°，

∴∠APD=55°，

∴∠PAD=90°﹣∠APD=35°．

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C=90°，即PC⊥BC，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD=PE，PC=PE，從而得到PC=PD，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義解答；（2）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C=90°，即PC⊥BC，利用AAS證明△PBE≌△PBC，得出∠EPB=∠CPB=35°，PE=PC，由PC=PD，等量代換得到PD=PE，再根據(jù)HL證明Rt△PAD≌Rt△PAE，得出∠APD=∠APE=55°，那么∠PAD=90°﹣∠APD=35°．
【考點(diǎn)精析】利用角平分線的性質(zhì)定理對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等； 定理2：一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上．