Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角扳ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角扳DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q。

（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD～△CDQ。此時(shí)，AP·CQ=______。
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a．其中 0°<a<90°，問AP·CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由。
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

解：（1）8； （2）AP·CQ的值不會(huì)改變。 理由如下：在與中， ， ， ， 即， ， ， 。
（3）情形1：如圖4，當(dāng)時(shí)，，即， 此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形， 過D作于G，于N， ， 由（2）知：，即， 于是           ； 情形2：如圖5，當(dāng)時(shí)，即， 此時(shí)兩三角板重疊部分為， 由于，， 易證：， 即， 解得：， ， 于是， 　綜上所述，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，或。