【題目】如圖1,拋物線l1;y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過原點,與x軸的另一個交點為B(4,0),點A為頂點,且直線OA的解析式為y=x.
(1)如圖1,求拋物線l1的解析式;
(2)如圖2,將拋物線l1繞原點O旋轉(zhuǎn)180°,得到拋物線l2 , l2與x軸交于點B′,頂點為A′,點P為拋物線l1上一動點,連接PO交l2于點Q,連接PA、PA′、QA′、QA.
請求:平行四邊形PAQA′的面積S與P點橫坐標x(2<x≤4)之間的關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,如圖11﹣3,連接BA′,拋物線l1或l2上是否存在一點H,使得HB=HA′?若存在,請求出點H的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖1,
過A作AD⊥OB于D點,
∵拋物線l1:y=ax2+bx+c(a<0)過原點和B(4,0).
頂點為A.OD= OB=2.
又∵直線OA的解析式為y=x,
∴AD=OD=2.
∴點A的坐標為(2,2),
將A、B、O的坐標代入y=ax2+bx+c(a<0)中,
,
解得 ,
∴拋物線C的解析式為y=﹣ x2+2x
(2)
解:如圖2,
,
∵AO=A′O,PO=OQ,
∴四邊形PAQA′是平行四邊形,
∴S平行四邊形PAQA′=4S△AOP.
過點P作PE⊥y軸于E交AO于F.
設(shè)P(x,﹣ x2+2x),則F(﹣ x2+2x,﹣ x2+2x),
若P點在拋物線AB段(2<x≤4)時,S△AOP= |xP﹣xF|×|yA|= [x﹣(﹣ x2+2x)]×2= x2﹣x,
則S平行四邊形PAQA′=4S△AOP=2x2﹣4x(2<x≤4)
(3)
解:如圖3,
,
作A′B的垂直平分線l,分別交A′B、x軸于M、N(n,0),由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得l2的頂點坐標A′(﹣2,﹣2),
故A′B的中點M的坐標(1,﹣1).
作MT⊥x軸于T,在Rt△NMB中,MT⊥NB于T,
∠NMT+∠BMT=90°,∠TBM+∠BMT=90°,
∴∠NMT=∠TBM,
又∵∠NTM=∠BTM=90°,
∴△MTN∽△BTM,
= ,
MT2=TNTB,即12=(1﹣n)(4﹣1).
∴n= ,即N點的坐標為( ,0).
直線l過點M(1,﹣1)、N( ,0),
∴直線l的解析式為y=﹣3x﹣2.
解 ,得x=5 .
在拋物線l1上存在兩點使得HB=HA′,其坐標分別為(5+ ,﹣13﹣3 ),(5﹣ ,﹣13﹣3 ).
解 得x=﹣5 ,在拋物線l2上存在兩點使得HB=HA′,其坐標分別為(﹣5+ ,17﹣3 ),(﹣5﹣ ,17+3 );
綜上所述:(5+ ,﹣13﹣3 ),(5﹣ ,﹣13﹣3 ),(﹣5+ ,17﹣3 ),(﹣5﹣ ,17+3 )
【解析】(1)根據(jù)O、B關(guān)于對稱軸對稱,可得OD的長,根據(jù)A在直線y=x上,可得A點坐標,根據(jù)待定系數(shù)法,可得答案;(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì),可得S平行四邊形PAQA′=4S△AOP , 根據(jù)平行于x軸的直線上兩點間的距離是較大的橫坐標減較小的橫坐標,可得PF的長,根據(jù)三角形的面積,可得答案;(3)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等,可得H在線段A′B的垂直平分線上,根據(jù)解方程組,可得H點的坐標.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學九(1)班為了了解全班學生喜歡球類活動的情況,采取全面調(diào)查的方法,從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調(diào)查了全班學生的興趣愛好,根據(jù)調(diào)查的結(jié)果組建了4個興趣小組,并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖①,②,要求每位學生只能選擇一種自己喜歡的球類),請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)九(1)班的學生人數(shù)為 , 并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)扇形統(tǒng)計圖中m= , n= , 表示“足球”的扇形的圓心角是度;
(3)排球興趣小組4名學生中有3男1女,現(xiàn)在打算從中隨機選出2名學生參加學校的排球隊,請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學生恰好是1男1女的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,過O作EF⊥AC,交AD于E,交BC于F,連接AF、CE.
(1)求證:四邊形AECF是菱形
(2)若AB=3,BC=4,則菱形AECF的周長?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB=10,P是線段AB上的任意一點,在AB的同側(cè)分別以AP、PB為邊作等邊三角形APC和等邊三角形PBD,連結(jié)CD.
(1)當AP=6時,求CD的長;
(2)當AP為多少時,CD的值最小,最小值是多少?
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【題目】小王乘公共汽車從甲地到相距40千米的乙地辦事,然后乘出租車返回,出租車的平均速度比公共汽車多20千米/時,回來時路上所花時間比去時節(jié)省了 ,設(shè)公共汽車的平均速度為x千米/時,則下面列出的方程中正確的是( )
A. = ×
B. = ×
C. + =
D. ﹣ =
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【題目】甲、乙、丙三個家電廠家在廣告中都聲稱,他們的某種電子產(chǎn)品在正常情況下的使用壽命都是8年,經(jīng)質(zhì)量檢測部門對這三家銷售的產(chǎn)品的使用壽命進行跟蹤調(diào)查,統(tǒng)計結(jié)果如下(單位:年):
甲廠:4,5,5,5,5,7,9,12,13,15;
乙廠:6,6,8,8,8,9,10,12,14,15;
丙廠:4,4,4,6,7,9,13,15,16,16.
請回答下列問題:
(1)分別寫出以上三組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù);
(2)這三個廠家的推銷廣告分別用了哪一種表示集中趨勢的特征數(shù)?
(3)如果你是顧客,宜選購哪家工廠的產(chǎn)品?為什么?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y= 的圖象在第一象限內(nèi)交于點B,點C是函數(shù)y= 在第一象限圖象上的一個動點,當△OBC的面積為3時,點C的橫坐標是 .
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