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【題目】已知∠MON=60°,射線OT是∠MON的平分線,點P是射線OT上的一個動點,射線PB交射線ON于點B

(1)如圖,若射線PB繞點P順時針旋轉120°后與射線OM交于點A,求證:PAPB;

(2)在(1)的條件下,若點CABOP的交點,且滿足,求△POB與△PBC的面積之比;

(3)當OB=2時,射線PB繞點P順時針旋轉120°后與直線OM交于點A(點A不與點O重合),直線PA交射線ON于點D,且滿足∠PBD=∠ABO,求OP的長

【答案】(1)詳見解析;(2)△POB△PBC的面積之比為4:3;(3)OP=.

【解析】

(1) PFOMF,作PGONG可以把求證PA=PB的問題轉化為證明PAF≌△PBG即可;

(2)首先證明POB∽△PBC,利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方即可求解;

(3)分點A在射線OM,A在射線OM的反向延長線上兩種情況進行討論,OT的垂線,利用三角函數即可求解.

(1)證明:作PF⊥OMF,作PG⊥ONG,

∵OP平分∠MON,

∴PF=PG,

∵∠MON=60°,

∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,

∵∠APB=120°,

∴∠APF=∠BPG,

∴△PAF≌△PBG,

∴PA=PB;

(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,

∴∠PAB=∠PBA=30°,

∵∠MON=60°,OP平分∠MON,

∴∠TON=30°,

∴∠POB=∠PBC,

∠BPO=∠OPB,

∴△POB∽△PBC,

∴△POB△PBC的面積之比為4:3;

(3)①當點A在射線OM上時(如圖乙1),

∠BPD=∠BOA=60°,

∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,

∴∠OBA=∠PBD=75°,

BE⊥OTE,

∵∠NOT=30°,OB=2,

∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,

∴∠EBP=∠EPB=45°,

∴PE=BE=1,∴OP=OE+PE=

當點A在射線OM的反向延長線上時(如圖乙2),

此時∠AOB=∠DPB=120°,

∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,

∴∠OBA=∠PBD=15°,

BE⊥OTE,

∵∠NOT=30°,OB=2,

∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,

∴∠EBP=∠EPB=45°,

∴PE=BE=1,∴OP=

綜上所述,OP=.

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