【題目】將矩形紙片分別沿兩條不同的直線剪兩刀,可以使剪得的三塊紙片恰能拼成一個等腰三角形(不能有重疊和縫隙).小華的做法是:如圖1所示,在矩形ABCD中,分別取AD、AB、CD的中點(diǎn)P、E、F,并沿直線PE 、PF剪兩刀,所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如圖2).

(1)在圖3中畫出另一種剪拼成等腰三角形的示意圖;

(2)以矩形ABCD的頂點(diǎn)B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖4),矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN,點(diǎn)P在邊AD上(不與點(diǎn)A、D重合),點(diǎn)M、Nx軸上(點(diǎn)MN的左邊).如果點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,8),直線PM的解析式為y=kx+b,求所有滿足條件的k的值.

【答案】(1)詳見解析;(2),或2.

【解析】

(1)可直接沿AD、CD中點(diǎn),BC、CD中點(diǎn)剪開;

(2)△MNP是等腰三角形,分①PM=PN,②PM=MN,③PN=MN三種情況取AB、CD的中點(diǎn)E、F,沿PE、PF剪開,拼接成等腰三角形,然后求出相應(yīng)的k值.

(1)如圖1:沿AD、CD中點(diǎn),BC、CD中點(diǎn)剪開,即可得到一個等腰△PMN;

(2)取AB、CD的中點(diǎn)E、F.

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5,8),四邊形ABCD是矩形,

∴E(0,4),F(xiàn)(5,4).

如圖2,若PM=PN,則P(2.5,8).

將點(diǎn)P、E的坐標(biāo)分別代入直線PM的解析式為y=kx+b,得:

解得,

如圖3,若PM=MN,則PM=MN=10,所以,EP=5,

∵AE=4,

Rt△APE中,根據(jù)勾股定理知AP==3,

∴P(3,8).

將點(diǎn)P、E的坐標(biāo)分別代入直線PM的解析式為y=kx+b,得:

,

解得,;

如圖4,若PN=MN,則PN=MN=10,

所以,PF=5,

∵DF=4,

Rt△PDF中,根據(jù)勾股定理知PD==3,

∴P(2,8).

將點(diǎn)PE的坐標(biāo)分別代入直線PM的解析式為y=kx+b,得,

解得,

綜上所述,k=,或2.

故答案是:,或2.

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3)如圖3,點(diǎn)N是線段AD上的一點(diǎn),以BN為一邊,在BN的下方作BNG=60°,NGDE延長線于點(diǎn)G,且MB=MG.試探究NDDGAD數(shù)量之間的關(guān)系,并說明理由.

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