【題目】(8分)如圖,在△ABC中,∠ABC=45,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E,F為BC中點(diǎn),BE與DF、DC分別交于點(diǎn)G、H,∠ABE=∠CBE。
(1)線段BH與AC相等嗎?若相等給予證明,若不相等請說明理由;
(2)求證:
【答案】(1)BH=AC,(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)由CD⊥AB知∠BDC=∠BEC,因?yàn)?/span>∠ABC=45,所以∠ABC=∠BCD ,故CD="BD" 又因BE⊥AC所以∠ACD,∠ABE都是∠A的余角故相等,因此可證△DBH≌△DCA所以BH=AC
(2) 連接GC,根據(jù)“等腰三角形三線合一”的性質(zhì):由BE⊥AC,∠ABE=∠CBE可得AE=CE
BF=FC,BD=CD得BG=CG因?yàn)?/span>GC2-GE2=CE2.所以BG2-GE2=EA2
試題解析:(1)BH="AC"
證明:∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90, ∠ABC=45,
∴∠BCD=45=∠ABC,
∴DB=DC.
又∵∠BHD=∠CHE
∴∠DBH=∠DCA
∴△DBH≌△DCA
∴BH=AC.
(2)證明:連接GC,∴GC2-GE2=CE2.
∵F為BC的中點(diǎn),DB=DC
∴DF垂直平分BC,
∴BG=GC,∴BG2-GE2=EC2
∵∠ABE=∠CBE ∴EC="EA"
∴BG2-GE2=EA2
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