Question

如圖，已知拋物線y=ax²+c交x軸于點A（-1，0）和點B，交y軸于點C（0，-1）．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△ACP相似．若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法直接將點的坐標代入拋物線的解析式求出a、c的值就可以求出拋物線的解析式．
（2）利用拋物線的解析式，求出點A、B、C的坐標，求出△ABC的形狀，利用平行線的性質求出∠PAB的度數(shù)，將四邊形分為兩個三角形的面積求和就可以了．
（3）假設存在與△ACP相似的三角形，從點M在y軸的左側和在y軸的右側的不同對應角根據(jù)相似三角形的性質分別考慮△AMG∽△PCA，△MAG∽△PCA求出其值就可以了．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+c過A（-1，0）和C（0，-1）
∴，
解得
∴y=x²-1
（2）令y=0，x²-1=0，
解得x₁=1，x₂=-1
∴B（1，0）
∵A（-1，0），C（0，-1）
∴OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°
過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形

令OE=a，則PE=a+1，
∴P（a，a+1）
∵點P在拋物線y=x²-1上，
∴a+1=a²-1
解得a₁=2，a₂=-1（不符合題意）
∴PE=3
∴四邊形ACBP的面積S=AB•OC+AB•PE
=×2×1+×2×3
=4；

（3）假設存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC．
∵MG⊥x軸于點G，
∴∠MGA=∠PAC=90°．
在Rt△AOC中，OA=OC=1∴AC=．
在Rt△PAE中，AE=PE=3∴AP=3 
設M點的橫坐標為m，則M （m，m²-1）
①點M在y軸左側時，則m＜-1

（ⅰ） 當△AMG∽△PCA時，有
∵AG=-m-1，MG=m²-1
即
解得m₁=-1（舍去） m₂=（舍去）
（ⅱ） 當△MAG∽△PCA時有
即 
解得：m₁=-1（舍去），m₂=-2
∴M（-2，3）
②點M在y軸右側時，則m＞1

（�。� 當△AMG∽△PCA時有
∵AG=m+1，MG=m²-1
∴
解得m₁=-1（舍去） m₂=
∴M（，）
（ⅱ） 當△MAG∽△PCA時有
即 
解得：m₁=-1（舍去），m₂=4，
∴M（4，15），
∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似
M點的坐標為（-2，3），（，），（4，15）．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行線的性質，相似三角形的判定及性質及多邊形的面積．