Question

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們用一根長(zhǎng)為1米的細(xì)繩圍矩形
小題1:小明圍出了一個(gè)面積為600㎝²的矩形，請(qǐng)你算一算，她圍成的矩形的長(zhǎng)和寬各是多少？
小題2:小穎想用這根細(xì)繩圍成一個(gè)面積盡可能大的矩形，請(qǐng)你用所學(xué)過的知識(shí)幫他分析應(yīng)該怎么圍，并求出最大面積．

Answer 1

小題1:設(shè)她圍成的矩形的一邊長(zhǎng)為，
得：………………（2分），  
，
當(dāng)x=20時(shí)，㎝；當(dāng)x=30時(shí)，，……………（4分）
所以小芳圍成的矩形的兩鄰邊分別是20㎝，30㎝  ……………… （5分）
小題2:設(shè)圍成矩形的一邊長(zhǎng)為，面積為，則有：，即，   …… ………… （7分 ）
當(dāng)時(shí)，y_最大值=625；此時(shí)，，矩形成為正方形。即用這根細(xì)繩圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為25㎝的正方形時(shí)，其面積最大，最大面積是625

分析：（1）已知細(xì)繩長(zhǎng)是1米，則已知圍成的矩形的周長(zhǎng)是1米，設(shè)她圍成的矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，則相鄰的邊長(zhǎng)是50-xcm．根據(jù)矩形的面積公式，即可列出方程，求解；
（2）設(shè)圍成矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，面積為ycm²，根據(jù)矩形面積公式就可以表示成邊長(zhǎng)x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
解答：解：（1）設(shè)她圍成的矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，
得：x（50-x）=600（2分），
解得x₁=20，x₂=30，
當(dāng)x=20時(shí)，50-x=30cm；
當(dāng)x=30時(shí)，50-x=20cm，（4分）
所以小芳圍成的矩形的兩鄰邊分別是20cm，30cm（5分）
（2）設(shè)圍成矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，面積為ycm²，
則有：y=x（50-x），
即y=-x²+50x，y=-（x-25）²+625（8分）
當(dāng)x=25時(shí)，y_最大值=625；
此時(shí)，50-x=25，矩形成為正方形．
即用這根細(xì)繩圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為25cm的正方形時(shí)，其面積最大，最大面積是625cm²（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單．并且通過本題要理解，最值問題的解決方法一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．