【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜邊AB上一點O為圓心,OB為半徑作⊙O,交AC于點E,交AB于點D,且∠BEC=∠BDE.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)連接OC交BE于點F,若,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
試題(1)連接OE,證得OE⊥AC即可確定AC是切線;
(2)根據(jù)OE∥BC,分別得到△AOE∽△ACB和△OEF∽△CBF,利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等找到中間比即可求解.
試題解析:解:(1)連接OE.
∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB.
∵∠ACB=90°,∴∠CBE+∠BEC=90°.
∵BD為⊙O的直徑,∴∠BED=90°,∴∠DBE+∠BDE=90°,∴∠CBE=∠DBE,∴∠CBE=∠OEB,∴OE∥BC,∴∠OEA=∠ACB=90°,即OE⊥AC,∴AC為⊙O的切線.
(2)∵OE∥BC,∴△AOE∽△ABC,∴OE:BC=AE:AC.
∵CE:AE=2:3,∴AE:AC=3:5,∴OE:BC=3:5.
∵OE∥BC,∴△OEF∽△CBF,∴.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,∠A′B′C′可以由△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到,其中點A′與點A是對應(yīng)點,點B′與點B是對應(yīng)點,連接AB′,且A、B′、A′在同一條直線上,則AA′的長為( 。
A. 4 B. 6 C. 3 D. 3
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【題目】 (2013年四川南充3分) 如圖1,點E為矩形ABCD邊AD上一點,點P,點Q同時從點B出發(fā),點P沿BE→ED→DC 運動到點C停止,點Q沿BC運動到點C停止,它們運動的速度都是1cm/s,設(shè)P,Q出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm,已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖2(曲線OM為拋物線的一部分),則下列結(jié)論:①AD=BE=5cm;②當(dāng)0<t≤5時,;③直線NH的解析式為;④若△ABE與△QBP相似,則t=秒。其中正確的結(jié)論個數(shù)為【 】
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【題目】閱讀下面的材料,并解決問題.
(1)已知在△ABC中,∠A=60°,圖1-圖3的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點O,請直接求出下列角度的度數(shù).
如圖1,∠O= ; 如圖2,∠O= ; 如圖3,∠O= ;如圖4,∠ABC,∠ACB的三等分線交于點O1,O2,連接O1O2,則∠BO2O1= .
(2)如圖5,點O是△ABC兩條內(nèi)角平分線的交點,求證:∠O=90°+∠A.
(3)如圖6,△ABC中,∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點O1,O2,若∠1=115°,∠2=135°,求∠A的度數(shù).
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【題目】我們知道,演繹推理的過程稱為證明,證明的出發(fā)點和依據(jù)是基本事實.證明三角形全等的基本事實有:兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等,兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等,三邊分別相等的兩個三角形全等.
(1)請選擇利用以上基本事實和三角形內(nèi)角和定理,結(jié)合下列圖形,證明:兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.
(2)把三角形的三條邊和三個角統(tǒng)稱為三角形的六個元素.如果兩個三角形有四對對應(yīng)元素相等,這兩個三角形一定全等嗎?請說明理由.
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【題目】根據(jù)某網(wǎng)站調(diào)查,2014年網(wǎng)民們最關(guān)注的熱點話題分別有:消費、教育、環(huán)保、反腐及其他共五類.根據(jù)調(diào)查的部分相關(guān)數(shù)據(jù),繪制的統(tǒng)計圖表如下:
根據(jù)所給信息解答下列問題:
(1)請補全條形統(tǒng)計圖并在圖中標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù);
(2)若菏澤市約有880萬人口,請你估計最關(guān)注環(huán)保問題的人數(shù)約為多少萬人?
(3)在這次調(diào)查中,某單位共有甲、乙、丙、丁四人最關(guān)注教育問題,現(xiàn)準(zhǔn)備從這四人中隨機抽取兩人進行座談,試用列表或樹形圖的方法求抽取的兩人恰好是甲和乙的概率.
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【題目】如圖,AB是⊙O 的直徑,CD是⊙O的一條弦,且CD⊥AB于點E.
(1)求證:∠BCO=∠D;
(2)若CD=,AE=2,求⊙O的半徑.
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【題目】一個不透明的口袋中裝有4個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字,另一個可以自由旋轉(zhuǎn)的圓盤,被分成面積相等的3個扇形區(qū)域,分別標(biāo)有數(shù)字(如圖).小穎和小亮想通過游戲來決定誰代表學(xué)校參加歌詠比賽,游戲規(guī)則為:一個人口袋中摸出一個小球,另一個人轉(zhuǎn)動圓盤,如果所摸球上的數(shù)字與圓盤上轉(zhuǎn)出數(shù)字之和小于4,那么小穎去,否則小亮去.
⑴.用樹狀圖或列表法求出小穎參加比賽的概率;
⑵.你認(rèn)為該游戲公平嗎?請說明理由;若不公平,請修改該游戲的規(guī)則,使游戲公平.
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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,F(xiàn)為邊BC的中點,DF與對角線AC交于點M,過M作ME⊥CD于點E,∠1=∠2.
(1)若CE=1,求BC的長;
(2)求證:AM=DF+ME.
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