.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P是x軸上一動點(diǎn),以線段AP為一邊,在其一側(cè)作等邊三角線APQ。當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到原點(diǎn)O處時(shí),記Q得位置為B。

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)求證:當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(P不與Q重合)時(shí),∠ABQ為定值;

(3)是否存在點(diǎn)P,使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?若存在,請求出P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

 

(1)過點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C,∵A(0,2),△AOB為等邊三角形,

∴AB=OB=2,∠BAO=60°,

∴BC=,OC=AC=1,

即B(

(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(P不與O重合)時(shí),不失一般性,

∵∠PAQ==∠OAB=60°,

∴∠PAO=∠QAB,

在△APO和△AQB中,

∵AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB

∴△APO≌△AQB總成立,

∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立,

∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(P不與Q重合)時(shí),∠ABQ為定值90°。

(3)由(2)可知,點(diǎn)Q總在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線上,

可見AO與BQ不平行。

①       當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí),點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方,

此時(shí),若AB∥OQ,四邊形AOQB即是梯形,

當(dāng)AB∥OQ時(shí),∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°。

又OB=OA=2,可求得BQ=,

由(2)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ=,

∴此時(shí)P的坐標(biāo)為()。

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí),點(diǎn)Q在嗲牛B的上方,

此時(shí),若AQ∥OB,四邊形AOQB即是梯形,

當(dāng)AQ∥OB時(shí),∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°。

又AB= 2,可求得BQ=,

由(2)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ=,

∴此時(shí)P的坐標(biāo)為()。

綜上,P的坐標(biāo)為()或()。

解析:略

 

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