Question

以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH。
（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；
（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)∠ADC=α（0°＜α＜90°），
①試用含α的代數(shù)式表示∠HAE；
②求證：HE=HG；
③四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由。

Answer 1

解：（1）四邊形EFGH的形狀是正方形；
（2）①∠HAE=90°+a，
在平行四邊形ABCD中AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a，
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+a，
答：用含α的代數(shù)式表示∠HAE是90°+a；
②證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=AB，DC=CD，
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，
∴AE=DG，
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，
∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，
∵△HAD是等腰直角三角形，
∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDC，
∴HE=HG．；
③四邊形EFGH是正方形，
理由是：
由②同理可得：GH=GF，F(xiàn)G=FE，
∵HE=HG，
∴GH=GF=EF=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四邊形EFGH是正方形。